AYT Matematik 2. Dereceden Denklemler: Pratik Testler ve Formül Özetleri Test 1

$x^2 - 6x + 5 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir. $|x_1 - x_2|$ değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, ikinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki farkın mutlak değerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, genellikle denklemi çözmeden de pratik yollarla çözülebilir. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Denklemi Tanımlama ve Katsayıları Belirleme

  Öncelikle bize verilen denklemi inceleyelim: $x^2 - 6x + 5 = 0$.

  Bu denklem, genel ikinci dereceden denklem formu olan $ax^2 + bx + c = 0$ ile aynı yapıdadır. Şimdi katsayıları belirleyelim:

  • $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
  • $b = -6$ (çünkü $x$'in katsayısı -6'dır)
  • $c = 5$ (çünkü sabit terim 5'tir)

• Adım 2: Diskriminantı (Delta) Hesaplama

  İkinci dereceden denklemlerin kökleri arasındaki farkı bulmak için diskriminant ($\Delta$) adını verdiğimiz özel bir değere ihtiyacımız var. Diskriminant, köklerin varlığını ve doğasını belirler ve şu formülle hesaplanır:

  $\Delta = b^2 - 4ac$

  Şimdi bulduğumuz $a, b, c$ değerlerini bu formülde yerine koyalım:

  $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5)$

  Hesaplamayı yapalım:

  $\Delta = 36 - 20$

  $\Delta = 16$

• Adım 3: Kökler Farkının Mutlak Değerini Hesaplama

  Kökler $x_1$ ve $x_2$ olmak üzere, kökler farkının mutlak değeri için özel bir formül bulunmaktadır. Bu formül, diskriminant ve $a$ katsayısı kullanılarak şu şekilde ifade edilir:

  $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

  Şimdi bulduğumuz $\Delta = 16$ ve $a = 1$ değerlerini bu formülde yerine koyalım:

  $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{16}}{|1|}$

  Karekök alma ve mutlak değer işlemini yapalım:

  $|x_1 - x_2| = \frac{4}{1}$

  $|x_1 - x_2| = 4$

  Böylece, denklemin kökleri arasındaki farkın mutlak değerini 4 olarak bulmuş olduk.

• Alternatif Yöntem: Kökleri Bularak Çözme

  Bu soruyu, denklemin köklerini doğrudan bularak da çözebiliriz. Denklemi çarpanlarına ayıralım:

  $x^2 - 6x + 5 = 0$

  Çarpımları 5, toplamları -6 olan iki sayı -1 ve -5'tir. Bu yüzden denklemi şu şekilde çarpanlarına ayırabiliriz:

  $(x - 1)(x - 5) = 0$

  Buradan kökler:

  $x_1 = 1$ ve $x_2 = 5$ (veya tam tersi)

  Şimdi bu köklerin farkının mutlak değerini alalım:

  $|x_1 - x_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$

  Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Diskriminant yöntemi, kökleri bulmak zor olduğunda veya kökler rasyonel sayılar olmadığında daha kullanışlıdır.

Cevap D seçeneğidir.