12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 10. senaryo meb Test 1

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ fonksiyonunun hangi aralıkta azalandır?

A) $(-\infty, 1)$
B) $(1, 3)$
C) $(3, \infty)$
D) $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$
E) $(-\infty, \infty)$

Bir fonksiyonun hangi aralıkta azalan olduğunu bulmak için, o fonksiyonun birinci türevini alıp işaretini incelememiz gerekir. Eğer birinci türev negatifse, fonksiyon o aralıkta azalandır.

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$'dir. Bu fonksiyonun birinci türevini alalım:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1)$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulma

Fonksiyonun azalan veya artan olduğu aralıkları belirlemek için türevin sıfır olduğu noktaları bulmalıyız. Bu noktalara kritik noktalar denir.

$f'(x) = 0$ denklemini çözelim:

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

Denklemi basitleştirmek için her tarafı $3$'e bölelim:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:

$(x - 1)(x - 3) = 0$

Buradan kritik noktalar $x = 1$ ve $x = 3$ olarak bulunur.

• Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma ve Aralıkları Test Etme

Kritik noktalar, sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ ve $(3, \infty)$. Her aralıktan bir test noktası seçerek $f'(x)$'in işaretini inceleyelim:

• Aralık 1: $(-\infty, 1)$

Bu aralıktan bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 0$.

$f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9$

$f'(0) = 9 > 0$ olduğu için, fonksiyon bu aralıkta artandır.

• Aralık 2: $(1, 3)$

Bu aralıktan bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 2$.

$f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$

$f'(2) = 3(4) - 24 + 9$

$f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$

$f'(2) = -3 < 0$ olduğu için, fonksiyon bu aralıkta azalandır.

• Aralık 3: $(3, \infty)$

Bu aralıktan bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 4$.

$f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9$

$f'(4) = 3(16) - 48 + 9$

$f'(4) = 48 - 48 + 9 = 9$

$f'(4) = 9 > 0$ olduğu için, fonksiyon bu aralıkta artandır.

• Adım 4: Azalan Olduğu Aralığı Belirleme

Yaptığımız incelemelere göre, $f'(x)$'in negatif olduğu aralık $(1, 3)$'tür. Dolayısıyla, $f(x)$ fonksiyonu $(1, 3)$ aralığında azalandır.

Cevap B seçeneğidir.