Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) $1 + tan^2(x) = csc^2(x)$
B) $1 + cot^2(x) = sec^2(x)$
C) $1 + tan^2(x) = sec^2(x)$
D) $1 + cot^2(x) = csc(x)$
Bugün trigonometrinin temel taşlarından biri olan Pisagor özdeşliklerini kullanarak doğru ifadeyi bulacağız. Bu özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkileri anlamamız için çok önemlidir.
Trigonometrideki en temel özdeşlik, birim çemberden türetilen Pisagor Özdeşliği'dir:
- $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$
Bu temel özdeşlikten yola çıkarak diğer özdeşlikleri elde edebiliriz:
- Birinci Türetme: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ özdeşliğinin her iki tarafını $cos^2(x)$ ile bölelim (tabii ki $cos(x) \neq 0$ olmak üzere).
- $\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + \frac{cos^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{1}{cos^2(x)}$ eşitliğini elde ederiz.
- Trigonometrik oranların tanımlarını hatırlayalım: $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ ve $sec(x) = \frac{1}{cos(x)}$.
- Bu tanımları yerine koyarsak, $tan^2(x) + 1 = sec^2(x)$ sonucuna ulaşırız.
- Yani, $1 + tan^2(x) = sec^2(x)$ özdeşliği doğrudur.
- İkinci Türetme: Şimdi de $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ özdeşliğinin her iki tarafını $sin^2(x)$ ile bölelim (tabii ki $sin(x) \neq 0$ olmak üzere).
- $\frac{sin^2(x)}{sin^2(x)} + \frac{cos^2(x)}{sin^2(x)} = \frac{1}{sin^2(x)}$ eşitliğini elde ederiz.
- Trigonometrik oranların tanımlarını hatırlayalım: $cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ ve $csc(x) = \frac{1}{sin(x)}$.
- Bu tanımları yerine koyarsak, $1 + cot^2(x) = csc^2(x)$ sonucuna ulaşırız.
Şimdi seçenekleri inceleyelim ve bulduğumuz özdeşliklerle karşılaştıralım:
- A) $1 + tan^2(x) = csc^2(x)$ - Yanlış. Biz $1 + tan^2(x) = sec^2(x)$ bulmuştuk.
- B) $1 + cot^2(x) = sec^2(x)$ - Yanlış. Biz $1 + cot^2(x) = csc^2(x)$ bulmuştuk.
- C) $1 + tan^2(x) = sec^2(x)$ - Doğru! Bu, bizim ilk türettiğimiz özdeşlikle tamamen aynıdır.
- D) $1 + cot^2(x) = csc(x)$ - Yanlış. Bu özdeşlik $1 + cot^2(x) = csc^2(x)$ olmalıydı, $csc(x)$ değil. Karesi eksik.
Gördüğünüz gibi, temel Pisagor özdeşliğinden yola çıkarak diğer önemli özdeşlikleri kolayca türetebiliriz. Bu özdeşlikleri bilmek ve nasıl türetildiğini anlamak, trigonometri problemlerini çözerken size büyük avantaj sağlayacaktır.
Cevap C seçeneğidir.
