Aşağıdakilerden hangisi $cos(x+y)$ özdeşliğidir?
A) $cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$
B) $cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$
C) $sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)$
D) $sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$
Sevgili öğrenciler, bu soru trigonometrideki toplam ve fark formülleri konusunu hatırlamamızı gerektiriyor. Bu formüller, iki açının toplamının veya farkının kosinüsünü (ya da sinüsünü) bu açıların ayrı ayrı kosinüs ve sinüsleri cinsinden ifade etmemizi sağlar.
- Öncelikle, trigonometrideki temel toplam formüllerinden birini, yani kosinüsün toplam formülünü hatırlayalım. Bir $A$ ve $B$ açısı için $cos(A+B)$ formülü şu şekildedir:
- $cos(A+B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)$
- Bu formül, iki açının toplamının kosinüsünü bulmak için kullanılır. Kosinüs formüllerinde, eğer açılar toplanıyorsa ($A+B$), aradaki işaret çıkarma ($ - $) olur ve terimler $cos \cdot cos - sin \cdot sin$ şeklinde sıralanır.
- Şimdi soruda verilen ifadeye bakalım: $cos(x+y)$. Bu ifade, yukarıda hatırladığımız genel $cos(A+B)$ formülüyle tamamen aynı yapıdadır. Burada $A$ yerine $x$ ve $B$ yerine $y$ gelmiştir.
- O halde, $cos(x+y)$ özdeşliğini bulmak için $A$ yerine $x$ ve $B$ yerine $y$ koyarak formülü uygulayalım:
- $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$
- Bu sonucu seçeneklerimizle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bulduğumuz özdeşlikle birebir eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
