8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı hangi konular çıkacak Test 1

🎓 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı hangi konular çıkacak Test 1 - Ders Notu

Sevgili öğrenciler, bu ders notu 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavında karşılaşabileceğiniz üslü sayılar, kareköklü sayılar ve olasılık konularını sade bir dille özetlemektedir.

📌 Üslü Sayılar

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterimidir. Matematikte büyük veya çok küçük sayıları ifade etmek için kullanılırlar.

• Tanım: $a^n$ ifadesi, $a$ sayısının kendisiyle $n$ defa çarpılması anlamına gelir ($a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($n$ tane)). Burada $a$ taban, $n$ ise üsttür (kuvvet).
• Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
• Negatif Tam Sayı Kuvvetleri: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersini alıp üssü pozitif yapmaktır. Örneğin, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Örnek: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti $1$'dir. Örneğin, $5^0 = 1$, $(-7)^0 = 1$. ($0^0$ tanımsızdır.)
• Negatif Tabanın Kuvvetleri:
  • Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitiftir. Örnek: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
  • Negatif bir sayının tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
• Üslü Sayılarla Çarpma İşlemi:
  • Tabanlar aynıysa, üsler toplanır: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$. Örnek: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
  • Üsler aynıysa, tabanlar çarpılır: $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$. Örnek: $3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2$.
• Üslü Sayılarla Bölme İşlemi:
  • Tabanlar aynıysa, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$. Örnek: $\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3$.
  • Üsler aynıysa, tabanlar bölünür: $\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$. Örnek: $\frac{10^3}{2^3} = \left(\frac{10}{2}\right)^3 = 5^3$.
• Üssün Üssü: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$. Örnek: $(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$.
• Bilimsel Gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıları $a \times 10^n$ şeklinde yazmaktır. Burada $1 \le |a| < 10$ olmalı ve $n$ bir tam sayı olmalıdır.
  • Örnek: $345.000.000 = 3.45 \times 10^8$.
  • Örnek: $0.000000021 = 2.1 \times 10^{-8}$.

💡 İpucu: Negatif tabanlı üslü sayılarda parantez kullanımına dikkat edin! Örneğin, $(-3)^2 = 9$ iken, $-3^2 = -9$'dur. Parantez, tabanın tamamının negatif olduğunu belirtir.

📌 Kareköklü Sayılar

Kareköklü sayılar, hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıdır.

• Tanım: $\sqrt{a}$ sembolü, karesi $a$ olan pozitif sayıyı ifade eder. Örneğin, $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5^2 = 25$.
• Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. Örnek: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \dots$. Bu sayıların karekökleri birer tam sayıdır.
• Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökleri: Bu tür sayıların karekökleri tam sayı değildir ve yaklaşık değerleri belirlenir. Örneğin, $\sqrt{10}$ sayısı $3$ ile $4$ arasındadır çünkü $3^2=9$ ve $4^2=16$'dır.
• $a\sqrt{b}$ Şeklinde Yazma: Karekök içindeki tam kare çarpanı kök dışına çıkararak sayıyı basitleştirmek. $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$. Örnek: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
• Katsayıyı Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine alırken, karesini alarak içeri yazarız. $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$. Örnek: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.
• Kareköklü Sayılarla Çarpma İşlemi: Kök içleri ve kök dışları kendi aralarında çarpılır. $a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = (a \cdot b)\sqrt{x \cdot y}$. Örnek: $2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{7} = (2 \cdot 5)\sqrt{3 \cdot 7} = 10\sqrt{21}$.
• Kareköklü Sayılarla Bölme İşlemi: Kök içleri ve kök dışları kendi aralarında bölünür. $\frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{x}{y}}$. Örnek: $\frac{12\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{3}\sqrt{\frac{15}{5}} = 4\sqrt{3}$.
• Kareköklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi: Sadece kök içleri aynı olan (benzer) kareköklü sayılar toplanıp çıkarılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanır/çıkarılır, kök içi aynı kalır. $a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}$. Örnek: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
• Gerçek (Reel) Sayılar:
  • Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır ($b \ne 0$). Tam sayılar, doğal sayılar, devirli ondalık sayılar ve sonlu ondalık sayılar rasyoneldir. Örnek: $5$, $-3$, $\frac{1}{2}$, $0.75$, $0.\overline{3}$.
  • İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan, ondalık açılımı devirli olmayan ve sonsuza kadar giden sayılardır. Tam kare olmayan sayıların karekökleri ve $\pi$ (pi) sayısı irrasyoneldir. Örnek: $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$, $\pi$.
  • Gerçek (Reel) Sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.

⚠️ Dikkat: Kareköklü sayılarda toplama ve çıkarma yapabilmek için kök içlerinin aynı olması şarttır. Farklıysa, önce $a\sqrt{b}$ şeklinde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışın!

📌 Olasılık

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını veya ihtimalini matematiksel olarak ifade etme yöntemidir. Günlük hayatta "havanın yağmurlu olma ihtimali", "piyangoyu kazanma şansı" gibi durumları olasılıkla ifade ederiz.

• Olası Durumlar: Bir olayın gerçekleşebileceği tüm sonuçlara olası durumlar denir. Örnek: Bir zar atıldığında olası durumlar $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır (6 durum).
• Olay: Bir deneyin olası durumlarından bir veya birkaçının gerçekleşmesidir. Örnek: Zar atma deneyinde "tek sayı gelmesi" bir olaydır. Bu olayın olası durumları $\{1, 3, 5\}$'tir (3 durum).
• Eş Olasılıklı Durumlar: Her bir çıktının gerçekleşme şansının birbirine eşit olması durumudur. Örnek: Hilesiz bir zarın her yüzeyinin gelme olasılığı eşittir.
• Bir Olayın Olasılık Değeri: Bir olayın gerçekleşme olasılığı, istenen olası durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır.
  • $P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenen olası durumların sayısı}}{\text{Tüm olası durumların sayısı}}$
  • Olasılık değeri $0$ ile $1$ arasında bir sayıdır ($0 \le P(\text{Olay}) \le 1$).
• Kesin Olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaydır. Olasılık değeri $1$'dir. Örnek: "Bir zar atıldığında $7$'den küçük bir sayı gelmesi" kesin olaydır.
• İmkansız Olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaydır. Olasılık değeri $0$'dır. Örnek: "Bir zar atıldığında $7$ gelmesi" imkansız olaydır.
• Daha Fazla / Daha Az / Eşit Olasılıklı Olma: İki olayın olasılık değerleri karşılaştırılarak hangisinin daha olası olduğu belirlenir.
  • Örnek: Bir torbada 5 kırmızı, 2 mavi top varsa, kırmızı top çekme olasılığı ($5/7$) mavi top çekme olasılığından ($2/7$) daha fazladır.

💡 İpucu: Olasılık sorularında "tüm olası durumları" ve "istenen olası durumları" doğru belirlemek çok önemlidir. Sayıları dikkatlice sayın!