Bir hareketli, A şehrinden B şehrine saatte 60 km hızla gidip, saatte 90 km hızla geri dönüyor. Gidiş dönüşteki ortalama hızı kaç km/saattir?
A) 70
B) 72
C) 75
D) 78
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür hız problemlerinde ortalama hızı bulmak için toplam yolu toplam zamana bölmemiz gerektiğini unutmayın. Hadi adım adım bu soruyu çözelim:
-
1. Ortalama Hızın Tanımı: Ortalama hız, bir hareketlinin katettiği toplam yolun, bu yolu katetmek için harcadığı toplam zamana oranıdır. Yani, $v_{ort} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}$.
-
2. Yol Uzunluğunu Belirleme: A ve B şehirleri arasındaki mesafeyi bilmiyoruz. Ancak bu tür sorularda, yol uzunluğunu bir değişken olarak kabul edebiliriz (örneğin $D$) ve çözüm sırasında bu değişken sadeleşecektir. Ya da daha somut hale getirmek için, gidiş ve dönüş hızlarının en küçük ortak katı olan bir mesafeyi varsayabiliriz. 60 ve 90'ın en küçük ortak katı 180'dir. Bu nedenle, A ile B arasındaki mesafenin 180 km olduğunu varsayalım. (Bu varsayım, hesaplamaları kolaylaştırır ve sonucun değişmemesini sağlar.)
-
3. Gidiş Süresini Hesaplama: A'dan B'ye giderken hız 60 km/sa idi.
- Yol: 180 km
- Hız: 60 km/sa
- Süre ($t_1$): $\text{Yol} / \text{Hız} = 180 \text{ km} / 60 \text{ km/sa} = 3 \text{ saat}$
-
4. Dönüş Süresini Hesaplama: B'den A'ya dönerken hız 90 km/sa idi.
- Yol: 180 km
- Hız: 90 km/sa
- Süre ($t_2$): $\text{Yol} / \text{Hız} = 180 \text{ km} / 90 \text{ km/sa} = 2 \text{ saat}$
-
5. Toplam Yolu Hesaplama: Hareketli A'dan B'ye gitti (180 km) ve B'den A'ya geri döndü (180 km).
- Toplam Yol: $180 \text{ km} + 180 \text{ km} = 360 \text{ km}$
-
6. Toplam Zamanı Hesaplama: Gidiş ve dönüş sürelerini topluyoruz.
- Toplam Zaman: $t_1 + t_2 = 3 \text{ saat} + 2 \text{ saat} = 5 \text{ saat}$
-
7. Ortalama Hızı Hesaplama: Şimdi toplam yolu toplam zamana bölelim.
- Ortalama Hız ($v_{ort}$): $\frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} = \frac{360 \text{ km}}{5 \text{ saat}} = 72 \text{ km/sa}$
-
Ek Bilgi (Kısa Yol): Eğer gidiş ve dönüş mesafeleri eşitse, ortalama hızı bulmak için harmonik ortalama formülünü de kullanabiliriz: $v_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}$.
- Burada $v_1 = 60 \text{ km/sa}$ ve $v_2 = 90 \text{ km/sa}$ değerlerini yerine koyarsak:
- $v_{ort} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150} = 72 \text{ km/sa}$
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Gördüğünüz gibi, ortalama hız basit bir aritmetik ortalama değildir, çünkü farklı hızlarda harcanan zamanlar farklıdır.
Cevap B seçeneğidir.
