Aynı düzlemde bulunan $\vec{F}_1$ ve $\vec{F}_2$ vektörleri şekildeki gibidir. Buna göre, $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ vektörünün büyüklüğü kaç birimdir?
($\vec{F}_1$ sağa 3 birim, $\vec{F}_2$ yukarı 4 birim)
A) $1$
B) $3$
C) $4$
D) $5$
E) $7$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, aynı düzlemde bulunan iki vektörün toplamının büyüklüğünü bulacağız. Vektörlerin toplanması ve bileşke vektörün büyüklüğünün hesaplanması konularını adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Vektörleri Tanımlayalım ve Bileşenlerini Belirleyelim.
Soruda verilen bilgilere göre:
- $\vec{F}_1$ vektörü sağa doğru 3 birimdir. Bunu koordinat sisteminde yatay eksende $(+3)$ birim olarak düşünebiliriz. Yani, $\vec{F}_1 = (3, 0)$.
- $\vec{F}_2$ vektörü yukarı doğru 4 birimdir. Bunu koordinat sisteminde dikey eksende $(+4)$ birim olarak düşünebiliriz. Yani, $\vec{F}_2 = (0, 4)$.
- Gördüğümüz gibi, $\vec{F}_1$ yatay, $\vec{F}_2$ ise dikeydir. Bu da iki vektörün birbirine dik olduğunu gösterir.
- Adım 2: Vektörleri Toplayalım (Bileşke Vektörü Bulalım).
İki vektörü toplarken, her bir vektörün aynı eksendeki bileşenlerini toplarız. Bileşke vektöre $\vec{R}$ diyelim:
- $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$
- Yatay bileşenleri toplayalım: $R_x = 3 + 0 = 3$ birim.
- Dikey bileşenleri toplayalım: $R_y = 0 + 4 = 4$ birim.
- Buna göre, bileşke vektörümüz $\vec{R} = (3, 4)$ olarak ifade edilebilir. Yani, bileşke vektörün yatayda 3 birim, dikeyde 4 birimlik bir etkisi vardır.
- Adım 3: Bileşke Vektörün Büyüklüğünü Hesaplayalım.
Bir vektörün büyüklüğünü bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Çünkü vektörün yatay ve dikey bileşenleri birbirine diktir ve bir dik üçgenin dik kenarlarını oluştururlar. Bileşke vektörün büyüklüğü, bu dik üçgenin hipotenüsüne eşittir.
- Büyüklük $= \sqrt{(R_x)^2 + (R_y)^2}$
- Büyüklük $= \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$
- Büyüklük $= \sqrt{9 + 16}$
- Büyüklük $= \sqrt{25}$
- Büyüklük $= 5$ birim.
Bu, aynı zamanda 3-4-5 özel dik üçgeninin bir uygulamasıdır. Yatay kenar 3, dikey kenar 4 ise, hipotenüs 5 birim olacaktır.
Buna göre, $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ vektörünün büyüklüğü 5 birimdir.
Cevap D seçeneğidir.
