Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, logaritma denklemlerini çözmek için logaritma özelliklerini ve tanım kümesini nasıl kullanacağımızı adım adım göreceğiz. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Logaritmanın Tanım Kümesini Belirleyelim
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir. Yani $log_a(b)$ ifadesinde $b > 0$ olmalıdır.
- Denklemimizdeki ilk terim $log_2(x+1)$ olduğundan, $x+1 > 0$ olmalıdır. Buradan $x > -1$ elde ederiz.
- Denklemimizdeki ikinci terim $log_2(x-1)$ olduğundan, $x-1 > 0$ olmalıdır. Buradan $x > 1$ elde ederiz.
- Her iki koşulu da sağlaması gerektiği için, $x$ değeri hem $-1$'den büyük hem de $1$'den büyük olmalıdır. Bu durumda, $x > 1$ olmalıdır. Bu, bulacağımız $x$ değerini kontrol etmek için çok önemli bir adımdır.
- Adım 2: Logaritma Özelliklerini Kullanarak Denklemi Sadeleştirelim
Logaritmanın temel özelliklerinden biri, aynı tabana sahip iki logaritmanın toplamının, logaritması alınan ifadelerin çarpımının logaritmasına eşit olmasıdır: $log_a(M) + log_a(N) = log_a(M \cdot N)$.
- Denklemimiz $log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3$ şeklindedir.
- Bu özelliği kullanarak denklemi $log_2((x+1)(x-1)) = 3$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 3: Logaritma İçindeki İfadeyi Basitleştirelim
Şimdi logaritmanın içindeki $(x+1)(x-1)$ ifadesini çarpalım. Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğidir: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
- Buna göre, $(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$ olur.
- Denklemimiz $log_2(x^2 - 1) = 3$ halini alır.
- Adım 4: Logaritma Denklemini Üstel Denkleme Dönüştürelim
Logaritmanın tanımına göre, $log_a(b) = c$ ise $a^c = b$ demektir.
- Bizim denklemimizde $a=2$, $b=x^2-1$ ve $c=3$'tür.
- Bu tanımı uygulayarak denklemi $2^3 = x^2 - 1$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 5: Oluşan Cebirsel Denklemi Çözelim
Şimdi basit bir cebirsel denklemimiz var:
- $2^3$ değeri $8$'e eşittir. Yani $8 = x^2 - 1$.
- Denklemi $x^2$ için çözelim. Her iki tarafa $1$ ekleyelim: $8 + 1 = x^2$.
- Bu durumda $9 = x^2$ olur.
- $x^2 = 9$ denkleminin iki çözümü vardır: $x = \sqrt{9}$ veya $x = -\sqrt{9}$.
- Yani, $x = 3$ veya $x = -3$.
- Adım 6: Bulduğumuz Çözümleri Tanım Kümesiyle Karşılaştıralım
En başta belirlediğimiz tanım kümesi koşulunu hatırlayalım: $x > 1$ olmalıydı.
- $x = 3$ değeri, $x > 1$ koşulunu sağlar ($3 > 1$). Bu geçerli bir çözümdür.
- $x = -3$ değeri, $x > 1$ koşulunu sağlamaz ($-3 \ngtr 1$). Bu çözüm geçersizdir.
- Adım 7: Sonucu Belirleyelim
Denklemi sağlayan tek geçerli $x$ değeri $3$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
