AYT Matematik Vaka İncelemeleri: Pratik Çözüm Yolları ve Püf Noktaları Test 1

$f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{x-2}{x+1}$
B) $\frac{x+2}{x-1}$
C) $\frac{x+1}{x-2}$
D) $\frac{x-1}{x+2}$
E) $\frac{x+1}{x+2}$

Bir fonksiyonun tersini ($f^{-1}(x)$) bulmak için aşağıdaki adımları takip ederiz:

• Adım 1: Fonksiyonu $y = f(x)$ şeklinde yazın.

$y = \frac{x+2}{x-1}$

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirin. Bu, fonksiyonun tersini bulmanın temel adımıdır.

$x = \frac{y+2}{y-1}$

• Adım 3: Yeni denklemi $y$ için çözün. Bu $y$ değeri, fonksiyonun tersi olan $f^{-1}(x)$ olacaktır.
• Denklemin her iki tarafını $(y-1)$ ile çarpın. Bu, $y$ terimini paydadan kurtarmamızı sağlar:

$x(y-1) = y+2$

• $x$'i parantez içine dağıtın:

$xy - x = y+2$

• $y$ içeren tüm terimleri denklemin bir tarafına (genellikle sol taraf), diğer terimleri ise karşı tarafa (sağ taraf) toplayın. Bunun için $y$'yi sol tarafa, $-x$'i sağ tarafa taşıyalım:

$xy - y = x+2$

• Sol taraftaki $y$ terimini ortak çarpan parantezine alın. Bu, $y$'yi yalnız bırakmak için bir adımdır:

$y(x-1) = x+2$

• $y$'yi yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $(x-1)$ ile bölün:

$y = \frac{x+2}{x-1}$

• Adım 4: Elde ettiğiniz $y$ ifadesi, $f(x)$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$'tir.

$f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-1}$

Bu durumda, verilen $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ fonksiyonunun tersi kendisiyle aynıdır. Bu sonuç, seçeneklerde B şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap A seçeneğidir.