Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, türev alma kurallarından zincir kuralını kullanarak bir trigonometrik fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz $f(x) = sin(2x)$ fonksiyonunun türevini bulmak.
- Öncelikle, verilen fonksiyonun bir bileşik fonksiyon olduğunu fark etmeliyiz. Yani, bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon var. Burada $sin$ fonksiyonunun içinde $2x$ fonksiyonu bulunmaktadır.
- Bileşik fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını kullanırız. Zincir kuralı der ki: Eğer $y = f(g(x))$ ise, $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ olur. Yani, dıştaki fonksiyonun türevini alırken içteki fonksiyonu aynen bırakırız ve bu sonucu içteki fonksiyonun türevi ile çarparız.
- Şimdi fonksiyonumuzu bu kurala göre parçalayalım:
- Dıştaki fonksiyonumuz $f(u) = sin(u)$ olsun, burada $u$ bir değişkendir.
- İçteki fonksiyonumuz ise $g(x) = 2x$ olsun.
- İlk olarak, dıştaki fonksiyonun türevini alalım: $f'(u) = \frac{d}{du}(sin(u)) = cos(u)$.
- Şimdi bu türevde $u$ yerine içteki fonksiyon olan $2x$ ifadesini yazalım: $cos(2x)$.
- İkinci olarak, içteki fonksiyonun türevini alalım: $g'(x) = \frac{d}{dx}(2x) = 2$.
- Son olarak, zincir kuralını uygulayarak bu iki sonucu çarpalım:
$f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$f'(x) = cos(2x) \cdot 2$
- Bu ifadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak: $f'(x) = 2cos(2x)$ sonucunu elde ederiz.
- Şimdi bulduğumuz bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $cos(2x)$
- B) $2cos(2x)$
- C) $-cos(2x)$
- D) $-2cos(2x)$
- E) $sin(x)$
- Görüldüğü gibi, bulduğumuz $2cos(2x)$ ifadesi B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
