Bu soruyu çözmek için, verilen sayı kümelerinin birbirleriyle olan ilişkilerini ve kapsama durumlarını adım adım inceleyelim:
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma sayıları ve sıfırdan oluşan kümedir. Genellikle $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklinde gösterilir.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar kümesini ve bu sayıların negatiflerini içeren kümedir. Yani $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir. Görüldüğü gibi, her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. Bu durumda $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ diyebiliriz.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayılardır, burada $a$ bir tam sayı, $b$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Örneğin, $ rac{1}{2}$, $ rac{3}{4}$, $5$ (çünkü $ rac{5}{1}$ olarak yazılabilir), $-2$ (çünkü $ rac{-2}{1}$ olarak yazılabilir) rasyonel sayılardır. Her tam sayı, paydası $1$ olacak şekilde yazılabildiği için aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ diyebiliriz.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$ veya $\mathbb{Q}'$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan, ondalık gösterimleri sonsuz ve tekrar etmeyen sayılardır. Örneğin, $\pi$ (Pi sayısı), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ irrasyonel sayılardır. İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesi tamamen ayrıktır, yani ortak elemanları yoktur.
- Reel Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eden sayılardır. Yani, hem rasyonel hem de irrasyonel tüm sayılar reel sayılardır. Bu durumda $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ve $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$ diyebiliriz.
Bu ilişkileri özetlersek, sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisi şu şekildedir:
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$) kümesi, Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$) kümesinin bir alt kümesidir.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$) kümesi, Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$) kümesinin bir alt kümesidir.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$) kümesi, Reel Sayılar ($\mathbb{R}$) kümesinin bir alt kümesidir.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$) kümesi de Reel Sayılar ($\mathbb{R}$) kümesinin bir alt kümesidir.
Bu durumda, tüm bu kümeleri kapsayan en geniş küme Reel Sayılar kümesidir.
Cevap D seçeneğidir.
