Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle bir dikdörtgenin çevre uzunluğu verildiğinde, alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağımız bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca anlayıp çözeceğiz.
- 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim
- Bir dikdörtgenimiz var. Dikdörtgenin iki kısa kenarı ve iki uzun kenarı bulunur. Karşılıklı kenarların uzunlukları birbirine eşittir.
- Dikdörtgenin çevre uzunluğu $30 \text{ cm}$ olarak verilmiş. Çevre, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olmalı. Doğal sayılar $1, 2, 3, \dots$ gibi pozitif tam sayılardır.
- Bizden istenen, bu dikdörtgenin alanının en fazla kaç $\text{cm}^2$ olabileceğidir.
- 2. Adım: Çevre Uzunluğu Formülünü Kullanarak Kenarların Toplamını Bulalım
- Bir dikdörtgenin kısa kenarına $a$, uzun kenarına $b$ diyelim.
- Çevre uzunluğu formülü: $Ç = 2 \times (a + b)$ şeklindedir.
- Soruda çevre uzunluğu $30 \text{ cm}$ olarak verildiğine göre, bu formülü kullanarak $a$ ve $b$ kenarlarının toplamını bulabiliriz:
- $30 = 2 \times (a + b)$
- Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
- $\frac{30}{2} = a + b$
- $15 = a + b$
- Bu, dikdörtgenin bir kısa kenarı ile bir uzun kenarının toplamının $15 \text{ cm}$ olduğu anlamına gelir.
- 3. Adım: Kenar Uzunlukları Doğal Sayı Olan Olası Çiftleri Bulalım
- $a$ ve $b$ doğal sayılar olduğuna göre, toplamları $15$ olan tüm doğal sayı çiftlerini listeleyelim. (Kenarların yer değiştirmesi aynı dikdörtgeni ifade ettiğinden, $a \le b$ kabul edebiliriz.)
- Eğer $a=1$ ise, $b=14 \quad (1+14=15)$
- Eğer $a=2$ ise, $b=13 \quad (2+13=15)$
- Eğer $a=3$ ise, $b=12 \quad (3+12=15)$
- Eğer $a=4$ ise, $b=11 \quad (4+11=15)$
- Eğer $a=5$ ise, $b=10 \quad (5+10=15)$
- Eğer $a=6$ ise, $b=9 \quad (6+9=15)$
- Eğer $a=7$ ise, $b=8 \quad (7+8=15)$
- 4. Adım: Her Bir Kenar Çifti İçin Alanı Hesaplayalım
- Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımıdır: $A = a \times b$.
- Şimdi bulduğumuz her bir kenar çifti için alanı hesaplayalım:
- $a=1, b=14 \implies A = 1 \times 14 = 14 \text{ cm}^2$
- $a=2, b=13 \implies A = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}^2$
- $a=3, b=12 \implies A = 3 \times 12 = 36 \text{ cm}^2$
- $a=4, b=11 \implies A = 4 \times 11 = 44 \text{ cm}^2$
- $a=5, b=10 \implies A = 5 \times 10 = 50 \text{ cm}^2$
- $a=6, b=9 \implies A = 6 \times 9 = 54 \text{ cm}^2$
- $a=7, b=8 \implies A = 7 \times 8 = 56 \text{ cm}^2$
- 5. Adım: En Büyük Alanı Belirleyelim
- Hesapladığımız alan değerlerine baktığımızda: $14, 26, 36, 44, 50, 54, 56$.
- Bu değerler arasındaki en büyük sayı $56 \text{ cm}^2$'dir.
- Genel bir kural olarak, çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir. Bu durumda $7$ ve $8$ sayıları, toplamları $15$ olan doğal sayılar arasında birbirine en yakın olanlardır.
Bu durumda, alanı en fazla $56 \text{ cm}^2$ olabilir.
Cevap B seçeneğidir.
