Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, alanının hangi değerleri alabileceğini ve hangi değeri alamayacağını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Dikdörtgenin çevre formülünü hatırlayalım.
- Bir dikdörtgenin uzun kenarına $a$, kısa kenarına $b$ dersek, çevresi $2 \cdot (a+b)$ formülüyle bulunur.
- Soruda bize çevrenin $28 \text{ cm}$ olduğu verilmiş. O zaman, $2 \cdot (a+b) = 28$ denklemini yazabiliriz.
- Adım 2: Kenar uzunlukları toplamını bulalım.
- $2 \cdot (a+b) = 28$ denklemini çözerek $a+b$ değerini bulalım.
- Denklemin her iki tarafını $2$'ye bölersek: $a+b = \frac{28}{2} = 14 \text{ cm}$ olur.
- Bu, dikdörtgenin uzun ve kısa kenarının toplamının $14 \text{ cm}$ olduğu anlamına gelir.
- Adım 3: Kenar uzunlukları için olası doğal sayı çiftlerini belirleyelim.
- Kenar uzunlukları birer doğal sayı olmalı ve toplamları $14$ olmalı. Ayrıca, bir dikdörtgende uzun kenar kısa kenardan büyük veya eşit olabilir (kare de bir dikdörtgendir). Yani $a \ge b$ koşulunu göz önünde bulunduralım.
- Olası $(a, b)$ kenar çiftleri şunlardır:
- $(13, 1)$ çünkü $13+1=14$
- $(12, 2)$ çünkü $12+2=14$
- $(11, 3)$ çünkü $11+3=14$
- $(10, 4)$ çünkü $10+4=14$
- $(9, 5)$ çünkü $9+5=14$
- $(8, 6)$ çünkü $8+6=14$
- $(7, 7)$ çünkü $7+7=14$ (Bu bir karedir, kare de özel bir dikdörtgendir.)
- Adım 4: Her bir kenar çifti için alanı hesaplayalım.
- Bir dikdörtgenin alanı $A = a \cdot b$ formülüyle bulunur. Şimdi yukarıdaki her bir çift için alanı hesaplayalım:
- Kenarlar $(13, 1)$ ise Alan $= 13 \cdot 1 = 13 \text{ cm}^2$
- Kenarlar $(12, 2)$ ise Alan $= 12 \cdot 2 = 24 \text{ cm}^2$
- Kenarlar $(11, 3)$ ise Alan $= 11 \cdot 3 = 33 \text{ cm}^2$
- Kenarlar $(10, 4)$ ise Alan $= 10 \cdot 4 = 40 \text{ cm}^2$
- Kenarlar $(9, 5)$ ise Alan $= 9 \cdot 5 = 45 \text{ cm}^2$
- Kenarlar $(8, 6)$ ise Alan $= 8 \cdot 6 = 48 \text{ cm}^2$
- Kenarlar $(7, 7)$ ise Alan $= 7 \cdot 7 = 49 \text{ cm}^2$
- Adım 5: Hesaplanan alanları seçeneklerle karşılaştıralım.
- Dikdörtgenin alabileceği olası alan değerleri: $13, 24, 33, 40, 45, 48, 49 \text{ cm}^2$.
- Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $13 \text{ cm}^2$ (Bu değer olası alanlar listemizde var.)
- B) $24 \text{ cm}^2$ (Bu değer olası alanlar listemizde var.)
- C) $45 \text{ cm}^2$ (Bu değer olası alanlar listemizde var.)
- D) $50 \text{ cm}^2$ (Bu değer olası alanlar listemizde yok.)
Bu durumda, çevresi $28 \text{ cm}$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanı $50 \text{ cm}^2$ olamaz.
Cevap D seçeneğidir.
