Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek bir dikdörtgenin alanının nasıl en büyük değerini alabileceğini birlikte inceleyelim.
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım
-
Soruda bize bir dikdörtgenin çevre uzunluğunun $36 \text{ cm}$ olduğu ve kenar uzunluklarının doğal sayı olması gerektiği söyleniyor. Bizden istenen ise bu dikdörtgenin alanının en çok kaç $\text{cm}^2$ olabileceğidir.
- 2. Adım: Dikdörtgenin Çevre ve Alan Formüllerini Hatırlayalım
-
Bir dikdörtgenin kısa kenarına $a$ ve uzun kenarına $b$ dersek:
- Çevre uzunluğu ($C$) formülü: $C = 2 \times (a + b)$
- Alan ($A$) formülü: $A = a \times b$
- 3. Adım: Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarların Toplamını Bulalım
-
Çevre uzunluğu $36 \text{ cm}$ olduğuna göre, formülü yerine yazalım:
$2 \times (a + b) = 36$
Her iki tarafı $2$'ye bölersek:
$a + b = \frac{36}{2}$
$a + b = 18 \text{ cm}$
Bu, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarının toplamının $18 \text{ cm}$ olması gerektiği anlamına gelir.
- 4. Adım: Kenar Uzunlukları Doğal Sayı Olan Olası Çiftleri ve Alanlarını Bulalım
-
Kenar uzunlukları doğal sayı olduğu için, toplamları $18$ olan tüm doğal sayı çiftlerini bulup her bir durum için alanı hesaplayalım. Unutmayın, bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları birbirine yaklaştıkça artar ve kenarlar eşit olduğunda (yani bir kare olduğunda) maksimum değere ulaşır.
- Eğer $a = 1 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 1 = 17 \text{ cm}$. Alan $= 1 \times 17 = 17 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 2 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 2 = 16 \text{ cm}$. Alan $= 2 \times 16 = 32 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 3 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 3 = 15 \text{ cm}$. Alan $= 3 \times 15 = 45 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 4 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 4 = 14 \text{ cm}$. Alan $= 4 \times 14 = 56 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 5 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 5 = 13 \text{ cm}$. Alan $= 5 \times 13 = 65 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 6 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 6 = 12 \text{ cm}$. Alan $= 6 \times 12 = 72 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 7 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 7 = 11 \text{ cm}$. Alan $= 7 \times 11 = 77 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 8 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 8 = 10 \text{ cm}$. Alan $= 8 \times 10 = 80 \text{ cm}^2$.
- Eğer $a = 9 \text{ cm}$ ise, $b = 18 - 9 = 9 \text{ cm}$. Alan $= 9 \times 9 = 81 \text{ cm}^2$.
- 5. Adım: En Büyük Alanı Belirleyelim
-
Yukarıdaki hesaplamalara baktığımızda, kenar uzunlukları $9 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ olduğunda (yani dikdörtgen bir kare olduğunda) alanın $81 \text{ cm}^2$ olduğunu ve bunun en büyük değer olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
