Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, asal çarpanlar konusunu kullanarak güzel bir problem çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu nasıl çözeceğimizi ve doğru cevabı nasıl bulacağımızı göreceğiz.
- 1. Adım: Soruyu Anlayalım
- Soru bizden "asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan" bir sayı bulmamızı istiyor. Bu ne demek? Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımızda, çarpan listesinde sadece 2 ve 7 olmalı, başka hiçbir asal sayı (3, 5, 11 vb.) olmamalı.
- Ayrıca, sayının "iki basamaklı" olması gerekiyor. Yani 10 ile 99 arasında bir sayı olmalı.
- Son olarak, bu koşulları sağlayan "en büyük doğal sayı"yı bulmamız isteniyor.
- 2. Adım: Sayının Yapısını Belirleyelim
- Asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan bir sayı, $2^a \cdot 7^b$ şeklinde yazılabilir. Burada $a$ ve $b$ birer doğal sayı olmalı ve en az 1 olmalı ki 2 ve 7 o sayının çarpanı olsun.
- Örneğin, $2^1 \cdot 7^1 = 14$ sayısının asal çarpanları 2 ve 7'dir.
- $2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$ sayısının asal çarpanları da 2 ve 7'dir.
- 3. Adım: İki Basamaklı En Büyük Sayıyı Bulmak İçin Denemeler Yapalım
- Amacımız 100'e yakın, iki basamaklı en büyük sayıyı bulmak. Bunun için $a$ ve $b$ üslerini değiştirerek sayılar oluşturalım.
- Durum 1: $b=1$ alalım (yani 7'nin 1. kuvveti)
- $2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14$ (İki basamaklı, asal çarpanları 2 ve 7)
- $2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$ (İki basamaklı, asal çarpanları 2 ve 7)
- $2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$ (İki basamaklı, asal çarpanları 2 ve 7. Bu, C seçeneğidir.)
- $2^4 \cdot 7^1 = 16 \cdot 7 = 112$ (Üç basamaklı, bu yüzden aradığımız sayı olamaz.)
- Bu durumda, 7'nin 1. kuvveti ile oluşturabileceğimiz en büyük iki basamaklı sayı 56'dır.
- Durum 2: $b=2$ alalım (yani 7'nin 2. kuvveti)
- $2^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$ (İki basamaklı, asal çarpanları 2 ve 7. Bu, A seçeneğidir!)
- $2^2 \cdot 7^2 = 4 \cdot 49 = 196$ (Üç basamaklı, bu yüzden aradığımız sayı olamaz.)
- Bu durumda, 7'nin 2. kuvveti ile oluşturabileceğimiz en büyük iki basamaklı sayı 98'dir.
- Durum 3: $b=3$ alalım (yani 7'nin 3. kuvveti)
- $7^3 = 343$ (Zaten üç basamaklı, dolayısıyla 2 ile çarpmaya gerek yok, direkt elenir.)
- 4. Adım: Sonucu Karşılaştıralım
- Yaptığımız denemelerde iki basamaklı ve asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan sayılar arasında 14, 28, 56 ve 98'i bulduk.
- Bu sayılar arasında en büyüğü 98'dir.
- 98 sayısı iki basamaklıdır.
- 98'in asal çarpanları $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7 \cdot 7 = 2^1 \cdot 7^2$ olduğu için sadece 2 ve 7'dir.
Bu nedenle, asal çarpanları sadece 2 ve 7 olan iki basamaklı en büyük doğal sayı 98'dir.
Cevap A seçeneğidir.
