🎓 Doğal sayıların asal çarpanları nedir? Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, doğal sayıların çarpanları, asal sayılar ve bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma konularını kapsayan "Doğal sayıların asal çarpanları nedir? Test 1" için temel bilgileri sunar.
📌 Doğal Sayılar
Doğal sayılar, günlük hayatta sayma ve sıralama işlemlerinde kullandığımız sayılardır. Sıfır (0) ve pozitif tam sayılardan oluşur.
- 📝 Doğal sayılar kümesi $N$ ile gösterilir ve $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- 💡 İpucu: Testlerde genellikle "pozitif doğal sayılar" denildiğinde sıfır hariç, $1, 2, 3, ...$ sayıları kastedilir.
📌 Çarpanlar (Bölenler)
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen her doğal sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir.
- 📝 Her doğal sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı ise kendisidir.
- Örnek: 12 sayısının çarpanları (bölenleri) şunlardır: $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Çünkü 12 bu sayıların her birine kalansız bölünür.
📌 Asal Sayılar
1'den büyük olan ve 1 ile kendisinden başka hiçbir pozitif tam sayıya kalansız bölünemeyen doğal sayılara asal sayı denir.
- 📝 En küçük asal sayı 2'dir.
- 📝 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
- 📝 1 asal sayı DEĞİLDİR. Asal sayılar $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...$ şeklinde devam eder.
- ⚠️ Dikkat: Bir sayının asal olup olmadığını kontrol ederken, o sayıdan küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakılır.
📌 Asal Çarpanlar
Bir doğal sayının çarpanları (bölenleri) arasında asal olan sayılara o sayının asal çarpanları denir.
- Örnek: 12 sayısının çarpanları $1, 2, 3, 4, 6, 12$'dir. Bu çarpanlar arasından asal olanlar $2$ ve $3$'tür. Dolayısıyla 12'nin asal çarpanları $2$ ve $3$'tür.
📌 Asal Çarpanlara Ayırma
Bir doğal sayıyı, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazma işlemine asal çarpanlara ayırma denir. Bu işlem için iki temel yöntem kullanılır:
Yöntem 1: Çarpan Ağacı
Sayıyı en küçük asal çarpanından başlayarak dallara ayırarak ilerlenir. Dalların en ucundaki sayılar asal olduğunda işlem tamamlanır.
- Örnek: 30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- $30 \rightarrow 2 \times 15$
- $15 \rightarrow 3 \times 5$
- Yani $30 = 2 \times 3 \times 5$
Yöntem 2: Asal Çarpanlar Algoritması (Bölme Çizgisi)
Sayı sağ tarafına çizilen dikey bir çizgi ile ayrılır. Sayı, en küçük asal sayıdan başlayarak bölünür ve bölümler çizginin soluna, bölenler ise sağına yazılır. Bölüm 1 olana kadar işleme devam edilir.
- Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- $60 \quad | \quad 2$
- $30 \quad | \quad 2$
- $15 \quad | \quad 3$
- $5 \quad | \quad 5$
- $1 \quad | \quad$
- Yani $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$
📌 Asal Çarpanların Üslü Gösterimi
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, aynı olan asal çarpanları üslü ifade şeklinde yazmaya asal çarpanların üslü gösterimi denir.
- 📝 Bu, asal çarpanlara ayırma işleminin son adımıdır ve sayının asal çarpanlarının çarpımını daha kısa bir şekilde ifade etmeyi sağlar.
- Örnek: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ifadesinde, iki tane $2$ çarpanı vardır. Bu durumda $2 \times 2$ yerine $2^2$ yazılır.
- Sonuç: $60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$ (genellikle üssü 1 olan çarpanlar için 1 yazılmaz, $3 \times 5$ olarak bırakılır).
- 💡 İpucu: Üslü gösterim, büyük sayıların asal çarpanlarını daha düzenli ve anlaşılır hale getirir.
