Bir üçgenin kenar uzunlukları 3x, 4x ve 5x'tir. Bu üçgenin en küçük açısı kaç derecedir?
A) 30°Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin en küçük açısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Üçgenin kenar uzunlukları $3x$, $4x$ ve $5x$ olarak verilmiş. Bu tür kenar uzunlukları gördüğünüzde aklınıza Pisagor Teoremi gelmeli. Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni ($a^2 + b^2 = c^2$) kontrol edelim:
En kısa iki kenarın karelerinin toplamı:
$(3x)^2 + (4x)^2 = 9x^2 + 16x^2 = 25x^2$
En uzun kenarın karesi:
$(5x)^2 = 25x^2$
Gördüğümüz gibi, $(3x)^2 + (4x)^2 = (5x)^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu da demek oluyor ki, bu üçgen bir dik üçgendir! En uzun kenar olan $5x$'in karşısındaki açı $90^\circ$ olacaktır.
Bir üçgende, en küçük kenarın karşısındaki açı en küçük, en büyük kenarın karşısındaki açı ise en büyüktür. Kenar uzunluklarımız $3x$, $4x$ ve $5x$ olduğuna göre:
En küçük kenar $3x$'tir. Bu kenarın karşısındaki açı en küçük açımız olacaktır.
En büyük kenar $5x$'tir. Bu kenarın karşısındaki açı $90^\circ$'dir.
Bizden en küçük açıyı bulmamız istendiği için, $3x$ kenarının karşısındaki açıyı bulmalıyız.
Dik üçgenlerde açıları bulmak için sinüs, kosinüs veya tanjant gibi trigonometrik oranları kullanırız. En küçük açımıza $\alpha$ diyelim. Bu açı, $3x$ kenarının karşısındadır.
Sinüs oranı (karşı dik kenar / hipotenüs) ile bu açıyı bulabiliriz:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$
Şimdi $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$ eşitliğini sağlayan $\alpha$ açısını bulmalıyız. Bu değer $0.6$'ya eşittir.
Hesap makinesi kullanarak veya bilinen özel üçgen değerlerini hatırlayarak bu açıyı bulabiliriz:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) \approx 36.87^\circ$
Seçeneklere baktığımızda, bu değere en yakın olan seçenek $36^\circ$'dir. Bu, 3-4-5 üçgeni olarak bilinen özel bir dik üçgenin açılarından biridir (yaklaşık $37^\circ$ olarak da bilinir, ancak daha hassas değeri $36.87^\circ$'dir).
Cevap B seçeneğidir.
