8. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Ortak Sınav Test 2

$x^2 - 49$ ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(x-7)(x+7)$

B) $(x-7)^2$

C) $(x+7)^2$

D) $(x-49)(x+1)$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, matematikte çok sık karşımıza çıkan ve çarpanlara ayırma konusunda temel bir kural olan "iki kare farkı" özdeşliğini kullanarak bir ifadeyi nasıl çarpanlarına ayıracağımızı öğreneceğiz. Sorumuzdaki ifade $x^2 - 49$. Hadi adım adım bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

• Adım 1: İfadeyi Tanıma

  Elimizdeki ifade $x^2 - 49$. Bu ifadeye baktığımızda, iki terimden oluştuğunu ve bu terimlerin arasında bir çıkarma işlemi olduğunu görüyoruz. Ayrıca, her iki terimin de bir sayının veya değişkenin karesi şeklinde yazılabileceğini fark etmeliyiz.

• Adım 2: İki Kare Farkı Özdeşliğini Hatırlama

  İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Bu özdeşlik, bir sayının karesinden başka bir sayının karesi çıkarıldığında, bu ifadenin nasıl çarpanlarına ayrılacağını gösterir. Yani, karekökleri birbiriyle bir çıkarılıp bir toplanarak çarpılır.

• Adım 3: İfadeyi Özdeşliğe Uygun Hale Getirme

  Şimdi $x^2 - 49$ ifadesini $a^2 - b^2$ formuna benzetmeye çalışalım:

  • İlk terim $x^2$ zaten bir sayının karesi şeklinde. Burada $a^2 = x^2$ olduğu için $a = x$ diyebiliriz.
  • İkinci terim $49$. Hangi sayının karesi $49$'dur? Evet, $7$'nin karesi $49$'dur ($7^2 = 49$). O zaman $b^2 = 49$ olduğu için $b = 7$ diyebiliriz.
• Adım 4: Özdeşliği Uygulama

  Şimdi bulduğumuz $a=x$ ve $b=7$ değerlerini iki kare farkı özdeşliğine, yani $(a-b)(a+b)$ formülüne yerleştirelim:

  $(x-7)(x+7)$

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz çarpanlara ayrılmış biçim $(x-7)(x+7)$'dir. Şimdi bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $(x-7)(x+7)$ - Bu bizim bulduğumuz sonuçla aynıdır.
  • B) $(x-7)^2$ - Bu ifade $(x-7)(x-7)$ demektir ve $x^2 - 14x + 49$ sonucunu verir.
  • C) $(x+7)^2$ - Bu ifade $(x+7)(x+7)$ demektir ve $x^2 + 14x + 49$ sonucunu verir.
  • D) $(x-49)(x+1)$ - Bu ifade $x^2 - 48x - 49$ sonucunu verir.

Gördüğümüz gibi, doğru çarpanlara ayrılmış biçim A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.