Kütlesi $ m $, hızı $ v $ olan bir elektronun De Broglie dalga boyu $ \lambda $ dır. Buna göre, aynı hıza sahip, kütlesi $ 2m $ olan bir protonun De Broglie dalga boyu kaç $ \lambda $ olur?
A) $ \frac{1}{4} $
B) $ \frac{1}{2} $
C) $ 1 $
D) $ 2 $
E) $ 4 $
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, De Broglie dalga boyu kavramını kullanarak farklı kütlelere sahip parçacıkların dalga boylarını karşılaştıracağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: De Broglie Dalga Boyu Formülünü Hatırlayalım
- Bir parçacığın De Broglie dalga boyu, parçacığın momentumu ile ters orantılıdır. Formülü şu şekildedir:
- $ \lambda = \frac{h}{p} $
- Burada $ \lambda $ dalga boyu, $ h $ Planck sabiti ve $ p $ parçacığın momentumudur.
- Momentum $ p $ ise parçacığın kütlesi $ m $ ile hızı $ v $'nin çarpımına eşittir: $ p = mv $.
- Bu durumda De Broglie dalga boyu formülü şöyle yazılabilir:
- $ \lambda = \frac{h}{mv} $
- Adım 2: Elektron İçin Verilenleri Yazalım
- Soruda, kütlesi $ m $, hızı $ v $ olan bir elektronun De Broglie dalga boyunun $ \lambda $ olduğu belirtilmiştir.
- Bu bilgiyi formülümüze yerleştirelim:
- $ \lambda = \frac{h}{mv} $ (Bu bizim ilk denklemimizdir.)
- Adım 3: Proton İçin İstenenleri Belirleyelim
- Şimdi aynı hıza sahip, kütlesi $ 2m $ olan bir protonun De Broglie dalga boyunu bulmamız isteniyor. Bu yeni dalga boyuna $ \lambda' $ diyelim.
- Protonun kütlesi: $ m_p = 2m $
- Protonun hızı: $ v_p = v $ (elektronla aynı hızda)
- Protonun De Broglie dalga boyu: $ \lambda' $
- Adım 4: Protonun Dalga Boyunu Hesaplayalım
- Proton için De Broglie dalga boyu formülünü yazalım:
- $ \lambda' = \frac{h}{m_p v_p} $
- Protonun kütlesi ve hızını yerine koyalım:
- $ \lambda' = \frac{h}{(2m)v} $
- Bu ifadeyi biraz düzenleyelim:
- $ \lambda' = \frac{1}{2} \left( \frac{h}{mv} \right) $
- Adım 5: İki Durumu Karşılaştıralım
- İlk denklemimizden $ \lambda = \frac{h}{mv} $ olduğunu biliyoruz.
- Proton için bulduğumuz $ \lambda' $ ifadesindeki $ \frac{h}{mv} $ kısmının yerine $ \lambda $ yazabiliriz:
- $ \lambda' = \frac{1}{2} \lambda $
- Yani, kütlesi iki katına çıkan ve hızı aynı kalan parçacığın De Broglie dalga boyu yarıya inmiştir.
Bu durumda, doğru seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
