AYT Dönüşümler: Çıkmış Sorular ve Detaylı Çözüm Analizleri Test 1

$f(x) = x^2 - 2x + 3$ parabolü $x$ ekseni boyunca $2$ birim sağa ve $y$ ekseni boyunca $1$ birim aşağı ötelendiğinde oluşan yeni parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y = (x-3)^2 + 1$
B) $y = (x-1)^2 + 2$
C) $y = (x-3)^2 + 2$
D) $y = (x+1)^2 + 1$
E) $y = x^2 - 6x + 10$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir parabolün ötelenmesi (kaydırılması) konusunu adım adım inceleyeceğiz. Bir parabolü sağa, sola, yukarı veya aşağı ötelemek, onun şeklini değiştirmeden sadece konumunu değiştirmek demektir. Bu tür problemlerle karşılaştığımızda, parabolün tepe noktasını (vertex) takip etmek genellikle en kolay yoldur.

• Adım 1: Orijinal Parabolün Tepe Noktasını Bulalım

  Bize verilen parabolün denklemi $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Bir parabolün tepe noktasını bulmanın en kolay yollarından biri, denklemi tepe noktası formuna dönüştürmektir. Tepe noktası formu $y = a(x-h)^2 + k$ şeklindedir, burada $(h, k)$ tepe noktasıdır.

  Denklemi tam kare yaparak bu forma dönüştürelim:

  $f(x) = x^2 - 2x + 3$

  İlk iki terimi $(x-1)^2$ şeklinde yazmak için $1$ ekleyip $1$ çıkarmalıyız:

  $f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 3$

  $f(x) = (x-1)^2 + 2$

  Bu durumda, orijinal parabolün tepe noktası $(h, k) = (1, 2)$'dir. Ayrıca, $a$ katsayısı $1$'dir.

• Adım 2: Tepe Noktasını Öteleyelim

  Şimdi, orijinal tepe noktasını verilen yönde öteleyelim:

  • Parabol $x$ ekseni boyunca $2$ birim sağa öteleniyor. Bu, tepe noktasının $x$ koordinatına $2$ eklememiz gerektiği anlamına gelir. Yeni $x$ koordinatı: $1 + 2 = 3$.
  • Parabol $y$ ekseni boyunca $1$ birim aşağı öteleniyor. Bu, tepe noktasının $y$ koordinatından $1$ çıkarmamız gerektiği anlamına gelir. Yeni $y$ koordinatı: $2 - 1 = 1$.

  Böylece, yeni parabolün tepe noktası $(h', k') = (3, 1)$ olur.

• Adım 3: Yeni Parabolün Denklemini Yazalım

  Öteleme işlemi parabolün şeklini değiştirmez, bu yüzden $a$ katsayısı aynı kalır. Yani, yeni parabolün $a$ katsayısı da $1$'dir.

  Yeni tepe noktası $(3, 1)$ ve $a=1$ değerlerini kullanarak tepe noktası formunda denklemi yazalım:

  $y = a(x-h')^2 + k'$

  $y = 1(x-3)^2 + 1$

  $y = (x-3)^2 + 1$

• Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz yeni parabol denklemi $y = (x-3)^2 + 1$ şeklindedir.

  Seçeneklere baktığımızda, A seçeneği tam olarak bulduğumuz denklemdir.

  Not: Eğer bu denklemi açarsak, $y = (x^2 - 6x + 9) + 1 = x^2 - 6x + 10$ elde ederiz. Bu da E seçeneğidir. Yani A ve E seçenekleri aynı parabolü ifade eder. Ancak, genellikle bu tür sorularda tepe noktası formunda bırakılır ve A seçeneği bu formdadır.

Cevap A seçeneğidir.