AYT Dönüşümler: Çıkmış Sorular ve Detaylı Çözüm Analizleri Test 1

$y = 3x + 4$ doğrusunun $x = 2$ doğrusuna göre simetriği olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $y = -3x + 16$
B) $y = 3x - 8$
C) $y = -3x + 10$
D) $y = -3x + 4$
E) $y = 3x + 16$

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriğini bulmak için genellikle iki yöntem kullanılır:

• Doğru üzerindeki genel bir noktanın simetriğini bulup, bu simetri noktasını kullanarak yeni doğru denklemini yazmak.
• Doğru üzerinden iki farklı nokta seçip, bu noktaların simetriğini bulduktan sonra, bu iki simetrik noktadan geçen doğrunun denklemini yazmak.

Biz ilk yöntemi kullanarak çözümü adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Simetri dönüşümünü belirleyelim.

  Verilen doğru $L_1: y = 3x + 4$'tür. Simetri ekseni ise $L_s: x = 2$ doğrusudur. Bir $(x, y)$ noktasının $x = k$ doğrusuna göre simetriği $(x', y')$ ise, bu dönüşüm şu şekilde gerçekleşir:

  $y$-koordinatı değişmez: $y' = y$.

  $x$-koordinatı ise $x = k$ doğrusuna olan uzaklığı korunacak şekilde değişir. Yani, $(x + x') / 2 = k$ olmalıdır. Buradan $x + x' = 2k \implies x' = 2k - x$ bulunur.

  Bizim durumumuzda $k = 2$ olduğundan, bir $(x, y)$ noktasının $x = 2$ doğrusuna göre simetriği olan $(x', y')$ noktası için:

  $x' = 2(2) - x = 4 - x$

  $y' = y$

  Bu eşitliklerden $x$ ve $y$ değerlerini $x'$ ve $y'$ cinsinden çekelim:

  $x = 4 - x'$

  $y = y'$

• Adım 2: Orijinal doğru denklemini simetri dönüşümüne göre dönüştürelim.

  Şimdi, orijinal doğru denklemi olan $y = 3x + 4$ ifadesinde $x$ ve $y$ yerine bulduğumuz $x = 4 - x'$ ve $y = y'$ ifadelerini yazalım:

  $y' = 3(4 - x') + 4$

• Adım 3: Yeni doğru denklemini düzenleyelim.

  Denklemi sadeleştirerek simetrik doğrunun denklemini bulalım:

  $y' = 12 - 3x' + 4$

  $y' = -3x' + 16$

  Burada $x'$ ve $y'$ yerine tekrar $x$ ve $y$ yazarak simetrik doğrunun denklemini elde ederiz:

  $y = -3x + 16$

Bu denklem, $y = 3x + 4$ doğrusunun $x = 2$ doğrusuna göre simetriği olan doğrudur.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz denklem A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.