A fark B (A\B) aralığı nasıl bulunur Test 2

Gerçek sayılarda A = (2, 7] ve B = [5, 9) kümeleri veriliyor. A\B kümesinin eşiti nedir?

A) (2, 5)
B) (2, 5]
C) [5, 7]
D) (7, 9)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, gerçek sayılarda tanımlanmış iki küme arasındaki fark işlemini bulmamız isteniyor. Kümelerimiz $A = (2, 7]$ ve $B = [5, 9)$ olarak verilmiş. $A \setminus B$ kümesinin ne anlama geldiğini hatırlayarak ve adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.

• Öncelikle, verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim:
  • $A = (2, 7]$ kümesi, 2'den büyük ve 7'ye eşit veya 7'den küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $2 < x \le 7$ koşulunu sağlayan $x$ değerleridir. Burada 2 dahil değildir, 7 dahildir.
  • $B = [5, 9)$ kümesi, 5'e eşit veya 5'ten büyük ve 9'dan küçük tüm gerçek sayıları içerir. Yani, $5 \le x < 9$ koşulunu sağlayan $x$ değerleridir. Burada 5 dahildir, 9 dahil değildir.
• Şimdi $A \setminus B$ işleminin tanımını hatırlayalım: $A \setminus B$ (A fark B), A kümesinde olup B kümesinde olmayan tüm elemanların kümesidir. Başka bir deyişle, $x \in A$ ve $x \notin B$ koşulunu sağlayan $x$ değerlerini arıyoruz.
• Bu işlemi daha iyi anlamak için sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
  • A kümesi: $2 \quad \circ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bullet \quad 7$ (2 açık, 7 kapalı)
  • B kümesi: $5 \quad \bullet \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \circ \quad 9$ (5 kapalı, 9 açık)
• Biz A kümesinden, B kümesiyle ortak olan kısımları çıkarmalıyız. A ve B kümelerinin kesişimini ($A \cap B$) bulalım:
  • A kümesindeki sayılar $2 < x \le 7$.
  • B kümesindeki sayılar $5 \le x < 9$.
  • Her iki koşulu da sağlayan sayılar $5 \le x \le 7$ aralığındadır. Yani, $A \cap B = [5, 7]$.
• Şimdi A kümesinden, B kümesiyle ortak olan $[5, 7]$ aralığını çıkaralım.
  • A kümesi $(2, 7]$ idi. Bu aralıkta $2 < x \le 7$ koşulu geçerlidir.
  • Biz bu aralıktan $5 \le x \le 7$ kısmını çıkarıyoruz.
  • A kümesindeki $x$ değerleri 2'den büyük başlar. 5'e kadar olan kısım ($2 < x < 5$) B kümesinde değildir. Bu kısım $A \setminus B$ kümesine dahildir.
  • 5'ten 7'ye kadar olan kısım ($5 \le x \le 7$) hem A'da hem de B'de olduğu için bu kısmı A'dan çıkarmamız gerekir.
  • Dolayısıyla, A kümesinden $[5, 7]$ aralığını çıkardığımızda geriye kalan kısım $(2, 5)$ aralığıdır. Buradaki 5 sayısı B kümesinde olduğu için A'dan çıkarılır ve bu yüzden 5'in olduğu uç nokta açık parantez olur.
• Sonuç olarak, $A \setminus B = (2, 5)$ kümesidir. Bu küme, 2'den büyük ve 5'ten küçük tüm gerçek sayıları içerir.

Cevap A seçeneğidir.