Polinom olma şartı ile ilgili sorular Test 1

$Q(x) = (k-3)x^{k+2} + 4x^3 - x + 2$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için k'nin alabileceği değerlerden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) -3
B) -2
C) -1
D) 0

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bir ifadenin polinom olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini adım adım inceleyelim ve sorumuzu çözelim.

• Adım 1: Polinom Tanımını Hatırlayalım.

  Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkene (bu soruda $x$) ait tüm üslerin (kuvvetlerin) doğal sayı olması gerekir. Doğal sayılar kümesi $N = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ şeklinde negatif olmayan tam sayılardan oluşur. Ayrıca, değişkenin katsayıları da reel sayılar olmalıdır.

• Adım 2: Verilen İfadeyi İnceleyelim.

  Bize verilen ifade $Q(x) = (k-3)x^{k+2} + 4x^3 - x + 2$.

  Bu ifadede yer alan terimlere bakalım:

  • $4x^3$: $x$'in üssü $3$'tür. $3$ bir doğal sayıdır. Bu terim polinom tanımına uygundur.
  • $-x$: Bu terimi $-1x^1$ olarak düşünebiliriz. $x$'in üssü $1$'dir. $1$ bir doğal sayıdır. Bu terim polinom tanımına uygundur.
  • $2$: Bu terimi $2x^0$ olarak düşünebiliriz. $x$'in üssü $0$'dır. $0$ bir doğal sayıdır. Bu terim polinom tanımına uygundur.
  • $(k-3)x^{k+2}$: Bu terimdeki $x$'in üssü $k+2$'dir. İşte bu üssün doğal sayı olması gerekmektedir.
• Adım 3: Üs Koşulunu Uygulayalım.

  $(k-3)x^{k+2}$ terimindeki $x$'in üssü olan $k+2$'nin bir doğal sayı olması gerekir. Bu iki koşul anlamına gelir:

  • $k+2 \ge 0$ olmalıdır (üs negatif olamaz).
  • $k+2$ bir tam sayı olmalıdır (üs kesirli olamaz).

  $k+2 \ge 0$ eşitsizliğini çözersek, $k \ge -2$ sonucunu elde ederiz.

  Ayrıca, $k+2$ bir tam sayı olacağından, $k$ da bir tam sayı olmalıdır.

• Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim.

  Şimdi $k \ge -2$ ve $k$ bir tam sayı koşulunu seçenekler üzerinde kontrol edelim:

  • A) $k = -3$: Eğer $k=-3$ olursa, $k+2 = -3+2 = -1$ olur. $-1$ bir doğal sayı değildir (negatiftir). Dolayısıyla $x^{-1}$ bir polinom terimi olamaz. Bu seçenek yanlıştır.
  • B) $k = -2$: Eğer $k=-2$ olursa, $k+2 = -2+2 = 0$ olur. $0$ bir doğal sayıdır. Bu durumda terim $(k-3)x^{k+2} = (-2-3)x^0 = -5x^0 = -5$ olur. Bu bir sabit terimdir ve polinomun bir parçası olabilir. Bu seçenek doğrudur.
  • C) $k = -1$: Eğer $k=-1$ olursa, $k+2 = -1+2 = 1$ olur. $1$ bir doğal sayıdır. Bu durumda terim $(k-3)x^{k+2} = (-1-3)x^1 = -4x$ olur. Bu bir polinom terimidir. Bu seçenek doğrudur.
  • D) $k = 0$: Eğer $k=0$ olursa, $k+2 = 0+2 = 2$ olur. $2$ bir doğal sayıdır. Bu durumda terim $(k-3)x^{k+2} = (0-3)x^2 = -3x^2$ olur. Bu bir polinom terimidir. Bu seçenek doğrudur.
• Adım 5: Sonucu Belirleyelim.

  Soru, $k$'nin alabileceği değerlerden birini sormaktadır. Yaptığımız incelemede $k=-2$, $k=-1$ ve $k=0$ değerlerinin hepsi polinom olma koşulunu sağlamaktadır. Seçeneklerde bu değerlerden sadece $k=0$ bulunmaktadır.

  Ek olarak, eğer $(k-3)$ katsayısı $0$ olursa, yani $k-3=0 \implies k=3$ olursa, bu terim $0 \cdot x^{3+2} = 0 \cdot x^5 = 0$ olur. $0$ bir polinom terimidir. Bu durumda $k=3$ de bir geçerli değerdir, ancak seçeneklerde yoktur.

Cevap D seçeneğidir.