Polinom olma şartı ile ilgili sorular

Question

Polinom olması için ifadenin üslerinin doğal sayı olması gerektiğini biliyorum ama bazı sorularda kesirli üsler veya değişkenin paydada olduğu durumlar karıştırıyor. Özellikle köklü ifadeleri polinom formuna getirirken hangi durumlarda polinom olamayacağını tam anlayamadım.

Answer 1

Polinom Nedir?

Bir ifadenin polinom olabilmesi için aşağıdaki temel şartları sağlaması gerekir:

• Değişkenlerin kuvvetleri (üssü) doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olmalıdır.
• Değişkenler bir ifadenin paydasında bulunmamalıdır (yani kesirli ifade şeklinde olmamalı).
• Değişkenler kök içinde olmamalıdır.
• Değişkenler mutlak değer içinde olmamalıdır.

Polinom Olma Şartı ile İlgili Örnek Soru Tipleri

Soru Tipi 1: Bir ifadenin polinom olup olmadığını belirleme.

Örnek: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinomdur?

• a) \( P(x) = 3x^2 - 5x + 1 \) → Polinomdur.
• b) \( Q(x) = \frac{1}{x} + 2x \) → Polinom değildir (paydada x var).
• c) \( R(x) = \sqrt{x} + 4 \) → Polinom değildir (kök içinde x var).
• d) \( S(x) = |x| + 3 \) → Polinom değildir (mutlak değer içinde x var).

Soru Tipi 2: Parametre içeren bir ifadenin polinom olması için koşul sorma.

Örnek: \( P(x) = (a-2)x^3 + 4x^{b-1} + 5 \) ifadesinin polinom olması için a ve b ne olmalıdır?

• \( x^3 \)'ün katsayısı herhangi bir gerçek sayı olabilir, bu yüzden a için bir kısıtlama yok.
• \( x^{b-1} \) teriminin üssü doğal sayı olmalı: \( b-1 \geq 0 \) ve \( b-1 \) bir tam sayı olmalı.
• Bu durumda \( b \) bir doğal sayı ve \( b \geq 1 \) olmalıdır.

Soru Tipi 3: Bir ifadenin belirli bir dereceli polinom olması için koşul sorma.

Örnek: \( Q(x) = (k+3)x^4 + x^{2-k} + 7 \) ifadesi 4. dereceden bir polinom ise k kaçtır?

• En yüksek dereceli terim \( x^4 \) olmalı ve katsayısı sıfırdan farklı olmalı: \( k+3 \neq 0 \) → \( k \neq -3 \).
• Diğer terimlerin derecesi 4'ten küçük olmalı: \( 2-k < 4 \) → \( -k < 2 \) → \( k > -2 \).
• \( 2-k \) doğal sayı olmalı: \( 2-k \geq 0 \) → \( k \leq 2 \).
• Bu koşulları birleştirirsek: \( -2 < k \leq 2 \) ve \( k \neq -3 \) (zaten sağlanıyor).
• k tam sayı ise: k = -1, 0, 1, 2 olabilir.

Önemli Uyarılar

• Bir polinomda değişkenin üssü negatif veya kesirli olamaz.
• Polinomun derecesi, değişkenin en büyük doğal sayı üssüdür.
• Sabit terim (değişken içermeyen) her zaman polinomun bir parçasıdır ve derecesi 0'dır.

Answer 2

Polinom Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom belirtir?
a) \( 3x^2 - \frac{2}{x} + 1 \)
b) \( \sqrt{x} + 5x - 2 \)
c) \( 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \)
d) \( x^2 + 3x^{1/2} - 4 \)
e) \( \frac{x^2 + 1}{x-1} \)
Cevap: c) \( 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \)
Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üslerinin doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olması ve değişkenin paydada bulunmaması gerekir. Seçenek c'de tüm üsler doğal sayıdır ve paydada değişken yoktur.

Soru 2: \( P(x) = (a-2)x^4 + 3x^{b-1} + 5 \) ifadesinin polinom olması için a ve b gerçek sayıları hangi şartı sağlamalıdır?
a) a ≠ 2 ve b = 1
b) a = 2 ve b > 1
c) a ≠ 2 ve b doğal sayı
d) a ∈ ℝ ve b ∈ ℕ
e) a ≠ 2 ve b ∈ ℕ
Cevap: e) a ≠ 2 ve b ∈ ℕ
Çözüm: Polinom olma şartı: Katsayılar reel sayı olmalı (a-2 ≠ 0 gerekmez, sıfır olabilir) ve üsler doğal sayı olmalı. b-1 ≥ 0 ve doğal sayı olmalı, yani b ∈ ℕ. a için herhangi bir kısıtlama yoktur.

Soru 3: \( Q(x) = 5x^{m-3} + 2x^{n+1} - 7 \) ifadesi bir polinom olduğuna göre, m ve n tam sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) m ≥ 3 ve n ≥ -1
b) m > 3 ve n > -1
c) m ≥ 3 ve n ∈ ℤ
d) m ∈ ℕ ve n ∈ ℕ
e) m ≥ 4 ve n ≥ 0
Cevap: a) m ≥ 3 ve n ≥ -1
Çözüm: Polinom olma şartı: Üsler doğal sayı olmalı. m-3 ≥ 0 ⇒ m ≥ 3 ve n+1 ≥ 0 ⇒ n ≥ -1 olmalıdır. m ve n tam sayı olduğundan bu koşullar yeterlidir.