Sevgili öğrenciler, bu problem benzer çokgenlerin çevreleri ve alanları arasındaki ilişkiyi anlamamızı gerektiriyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:
İki benzer çokgenin çevreleri oranı $ rac{2}{3}$ olarak verilmiştir. Bu oran, çokgenler arasındaki benzerlik oranıdır ve genellikle $k$ ile gösterilir. Yani, $k = rac{2}{3}$. Küçük çokgenin alanı $36 \text{ cm}^2$ olarak verilmiştir. Bizden büyük çokgenin alanını bulmamız isteniyor.
- 2. Benzer Çokgenlerde Alan Oranı Kuralını Hatırlayalım:
İki benzer çokgenin benzerlik oranı $k$ ise, bu çokgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesine ($k^2$) eşittir. Yani, $ rac{\text{Küçük Çokgenin Alanı}}{\text{Büyük Çokgenin Alanı}} = k^2$. Bu kural, benzer şekillerin boyutları büyüdükçe veya küçüldükçe alanlarının nasıl değiştiğini gösterir.
- 3. Alan Oranını Hesaplayalım:
Benzerlik oranımız $k = rac{2}{3}$ olduğuna göre, alan oranı $k^2 = ( rac{2}{3})^2 = rac{2^2}{3^2} = rac{4}{9}$ olur. Bu durumda, küçük çokgenin alanının büyük çokgenin alanına oranı $ rac{4}{9}$'dur. Bu, büyük çokgenin alanının küçük çokgenin alanından daha büyük olacağını gösterir.
- 4. Büyük Çokgenin Alanını Bulmak İçin Denklemi Kuralım:
Küçük çokgenin alanı $36 \text{ cm}^2$ olarak verildiğine ve alan oranı $ rac{4}{9}$ olduğuna göre, denklemimizi şöyle kurarız: $ rac{36}{\text{Büyük Çokgenin Alanı}} = rac{4}{9}$. Burada, bilmediğimiz büyük çokgenin alanını bulmaya çalışıyoruz.
- 5. Denklemi Çözerek Büyük Çokgenin Alanını Bulalım:
Denklemimiz $ rac{36}{\text{Büyük Çokgenin Alanı}} = rac{4}{9}$ idi. İçler dışlar çarpımı yaparak çözüme ulaşabiliriz:
$4 \times (\text{Büyük Çokgenin Alanı}) = 36 \times 9$.
$4 \times (\text{Büyük Çokgenin Alanı}) = 324$.
Şimdi her iki tarafı 4'e bölelim:
$\text{Büyük Çokgenin Alanı} = rac{324}{4}$.
$\text{Büyük Çokgenin Alanı} = 81 \text{ cm}^2$.
Gördüğünüz gibi, benzerlik oranının karesini alarak alanlar arasındaki ilişkiyi kolayca bulduk!
Cevap C seçeneğidir.
