\( (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \) işleminin sonucu kaçtır?
A) 2Sevgili öğrenciler, bu tür bir çarpma işlemiyle karşılaştığımızda, matematiksel bir özdeşliği hatırlamak işimizi çok kolaylaştırır. Hadi adımları birlikte inceleyelim:
Bize verilen işlem $ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ şeklindedir. Bu ifade, $(a+b) \cdot (a-b)$ şeklinde bir çarpıma benziyor, değil mi?
Matematikte çok önemli bir özdeşlik vardır: İki Kare Farkı Özdeşliği. Bu özdeşlik der ki:
$ (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 $
Bu özdeşlik, iki sayının toplamı ile farkının çarpımının, bu sayıların karelerinin farkına eşit olduğunu söyler. Bu özdeşlik, çarpma işlemlerini basitleştirmek için harika bir araçtır!
Bizim işlemimizde $a = \sqrt{5}$ ve $b = \sqrt{3}$'tür. Bu değerleri iki kare farkı özdeşliğinde yerine yazarsak:
$ (\sqrt{5} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 $
Şimdi kareleri hesaplayalım:
$ (\sqrt{5})^2 $ demek, $\sqrt{5}$'i kendisiyle çarpmak demektir. Bir sayının karekökünün karesi, o sayının kendisine eşittir. Yani $ (\sqrt{5})^2 = 5 $ olur.
Aynı şekilde, $ (\sqrt{3})^2 = 3 $ olur. Gördüğünüz gibi, karekök ve kare birbirini götürür!
Bulduğumuz kare değerlerini yerine yazıp çıkarma işlemini yapalım:
$ 5 - 3 = 2 $
İşte bu kadar! İşlemin sonucu $2$'dir. İki kare farkı özdeşliğini kullanarak ne kadar hızlı ve kolay bir şekilde sonuca ulaştık!
Cevap A seçeneğidir.
