Ortalama Hız Test 5

Bir yarış arabası pistte iki tur atmaktadır. İlk turu 180 km/sa ortalama hızla, ikinci turu ise 220 km/sa ortalama hızla tamamlıyor. Buna göre yarış arabasının iki tur boyunca ortalama hızı kaç km/sa'tir?

A) 198
B) 200
C) 202
D) 204

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir yarış arabasının iki farklı hızla tamamladığı iki turdaki ortalama hızını bulmamız isteniyor. Ortalama hız problemlerinde en önemli kural şudur: Ortalama Hız = Toplam Yol / Toplam Zaman.

Hadi adım adım bu problemi çözelim:

• 1. Adım: Tur Uzunluğunu Belirleyelim

  Yarış arabası "iki tur" attığına göre, her bir turun uzunluğu aynıdır. Bu uzunluğu bilmediğimiz için, gelin her bir turun uzunluğuna $L$ (kilometre) diyelim. Bu, bizim için hesaplamaları kolaylaştıracak bir varsayımdır.

• 2. Adım: Her Bir Tur İçin Geçen Zamanı Hesaplayalım

  Hız, yol ve zaman arasındaki ilişkiyi hatırlayalım: $Hız = \frac{Yol}{Zaman}$. Buradan $Zaman = \frac{Yol}{Hız}$ formülünü elde ederiz.

  • İlk Tur İçin Zaman ($t_1$):

    İlk turu 180 km/sa hızla tamamladı. Tur uzunluğu $L$ olduğuna göre, ilk turda geçen zaman:

    $t_1 = \frac{L}{180}$ saat

  • İkinci Tur İçin Zaman ($t_2$):

    İkinci turu 220 km/sa hızla tamamladı. Tur uzunluğu yine $L$ olduğuna göre, ikinci turda geçen zaman:

    $t_2 = \frac{L}{220}$ saat

• 3. Adım: Toplam Yolu ve Toplam Zamanı Bulalım
  • Toplam Yol:

    Araba iki tur attığına göre, katettiği toplam yol:

    $Toplam \ Yol = L + L = 2L$ kilometre

  • Toplam Zaman:

    İki turda geçen toplam zaman, ilk tur zamanı ile ikinci tur zamanının toplamıdır:

    $Toplam \ Zaman = t_1 + t_2 = \frac{L}{180} + \frac{L}{220}$

    Bu kesirleri toplayabilmek için ortak payda bulmalıyız. 180 ve 220'nin en küçük ortak katı 1980'dir. (180 x 11 = 1980 ve 220 x 9 = 1980)

    $Toplam \ Zaman = \frac{11L}{1980} + \frac{9L}{1980} = \frac{11L + 9L}{1980} = \frac{20L}{1980}$

    Bu kesri sadeleştirelim (hem payı hem paydayı 20'ye bölelim):

    $Toplam \ Zaman = \frac{L}{99}$ saat

• 4. Adım: Ortalama Hızı Hesaplayalım

  Şimdi elimizde toplam yol ve toplam zaman var. Ortalama hız formülünü kullanalım:

  $Ortalama \ Hız = \frac{Toplam \ Yol}{Toplam \ Zaman}$

  $Ortalama \ Hız = \frac{2L}{\frac{L}{99}}$

  Kesirli bir ifadeyi bölmek için, bölen kesri ters çevirip çarparız:

  $Ortalama \ Hız = 2L \times \frac{99}{L}$

  Burada $L$ değerleri birbirini götürür (sadeleşir):

  $Ortalama \ Hız = 2 \times 99 = 198$ km/sa

Gördüğünüz gibi, tur uzunluğunu $L$ olarak varsaymamız, hesaplamaların sonunda $L$'nin sadeleşmesiyle bize doğru sonucu verdi. Bu tür problemlerde, eşit mesafeler kat edildiğinde ortalama hız, hızların harmonik ortalamasıdır. Yani $\frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ formülüyle de aynı sonuca ulaşabilirdik.

Cevap A seçeneğidir.