Koordinat düzleminde C(4,-2) noktasına uygulanan ardışık dönüşümler sonucunda C'(-4,2) elde ediliyor. Bu dönüşümler aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Önce orijine göre 180° dönme, sonra y eksenine yansıma
B) Önce x eksenine yansıma, sonra y eksenine yansıma
C) Önce y eksenine yansıma, sonra x eksenine yansıma
D) Önce 2 birim sola öteleme, sonra orijine göre 90° dönme
Koordinat düzleminde bir noktanın dönüşümlerini incelerken, her bir dönüşümün noktayı nasıl etkilediğini adım adım takip etmeliyiz. Başlangıç noktamız $C(4,-2)$ ve ulaşmak istediğimiz nokta $C'(-4,2)$'dir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Önce orijine göre 180° dönme, sonra y eksenine yansıma
- Önce $C(4,-2)$ noktasını orijine göre 180° döndürelim. Orijine göre 180° dönme kuralı $(x,y) \rightarrow (-x,-y)$ şeklindedir.
$C(4,-2) \xrightarrow{\text{180° dönme}} C_1(-4, -(-2)) = C_1(-4,2)$
- Şimdi $C_1(-4,2)$ noktasını y eksenine yansıtalım. Y eksenine yansıma kuralı $(x,y) \rightarrow (-x,y)$ şeklindedir.
$C_1(-4,2) \xrightarrow{\text{y eksenine yansıma}} C_2(-(-4), 2) = C_2(4,2)$
Elde ettiğimiz son nokta $C_2(4,2)$'dir. Bu, $C'(-4,2)$ ile aynı değildir. Dolayısıyla A seçeneği doğru değildir.
- B) Önce x eksenine yansıma, sonra y eksenine yansıma
- Önce $C(4,-2)$ noktasını x eksenine yansıtalım. X eksenine yansıma kuralı $(x,y) \rightarrow (x,-y)$ şeklindedir.
$C(4,-2) \xrightarrow{\text{x eksenine yansıma}} C_1(4, -(-2)) = C_1(4,2)$
- Şimdi $C_1(4,2)$ noktasını y eksenine yansıtalım. Y eksenine yansıma kuralı $(x,y) \rightarrow (-x,y)$ şeklindedir.
$C_1(4,2) \xrightarrow{\text{y eksenine yansıma}} C_2(-4, 2)$
Elde ettiğimiz son nokta $C_2(-4,2)$'dir. Bu, $C'(-4,2)$ noktası ile aynıdır. Dolayısıyla B seçeneği doğru olabilir.
- C) Önce y eksenine yansıma, sonra x eksenine yansıma
- Önce $C(4,-2)$ noktasını y eksenine yansıtalım. Y eksenine yansıma kuralı $(x,y) \rightarrow (-x,y)$ şeklindedir.
$C(4,-2) \xrightarrow{\text{y eksenine yansıma}} C_1(-4, -2)$
- Şimdi $C_1(-4,-2)$ noktasını x eksenine yansıtalım. X eksenine yansıma kuralı $(x,y) \rightarrow (x,-y)$ şeklindedir.
$C_1(-4,-2) \xrightarrow{\text{x eksenine yansıma}} C_2(-4, -(-2)) = C_2(-4,2)$
Elde ettiğimiz son nokta $C_2(-4,2)$'dir. Bu da $C'(-4,2)$ noktası ile aynıdır. (Matematiksel olarak, x eksenine yansıma ve y eksenine yansıma ardışık olarak uygulandığında, hangi sırayla uygulandığı fark etmeksizin orijine göre 180° dönme ile aynı sonucu verirler.)
- D) Önce 2 birim sola öteleme, sonra orijine göre 90° dönme
- Önce $C(4,-2)$ noktasını 2 birim sola öteleyelim. 2 birim sola öteleme kuralı $(x,y) \rightarrow (x-2,y)$ şeklindedir.
$C(4,-2) \xrightarrow{\text{2 birim sola öteleme}} C_1(4-2, -2) = C_1(2,-2)$
- Şimdi $C_1(2,-2)$ noktasını orijine göre 90° döndürelim (saat yönünün tersine). Orijine göre 90° dönme kuralı $(x,y) \rightarrow (-y,x)$ şeklindedir.
$C_1(2,-2) \xrightarrow{\text{90° dönme}} C_2(-(-2), 2) = C_2(2,2)$
Elde ettiğimiz son nokta $C_2(2,2)$'dir. Bu, $C'(-4,2)$ ile aynı değildir. Dolayısıyla D seçeneği doğru değildir.
İncelemelerimiz sonucunda, B seçeneğindeki dönüşümlerin $C(4,-2)$ noktasını $C'(-4,2)$ noktasına dönüştürdüğünü gördük.
Cevap B seçeneğidir.
