C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin öz alt kümelerinden kaç tanesinde 3 bulunur ama 6 bulunmaz?
A) 16
B) 15
C) 31
D) 32
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli koşulları sağlayan öz alt kümelerin sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Kümeyi ve Koşulları Anlayalım
- Verilen küme $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır. Bu kümenin 6 elemanı vardır.
- Bizden istenen alt kümeler için iki temel koşul var:
- 3 elemanı alt kümede bulunacak.
- 6 elemanı alt kümede bulunmayacak.
- Ayrıca, bulduğumuz alt kümelerin öz alt küme olması gerekiyor. Öz alt küme, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümeleridir.
- 2. Adım: Koşulları Uygulayarak Seçim Yapabileceğimiz Elemanları Belirleyelim
- Bir alt küme oluştururken, elemanları seçip seçmeme kararı veririz. Ancak bazı elemanlar için bu karar önceden verilmiştir:
- '3' elemanı alt kümede mutlaka bulunacağı için, onu zaten seçmiş sayarız. Yani, alt kümemizin içinde '3' garanti. Bu eleman için artık bir seçim yapmamıza gerek kalmaz.
- '6' elemanı alt kümede kesinlikle bulunmayacağı için, onu seçim havuzumuzdan tamamen çıkarırız. Bu elemanı asla seçmeyeceğiz.
- Bu durumda, başlangıçtaki $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinden:
- '3' elemanını çıkarırız (çünkü zaten seçili).
- '6' elemanını çıkarırız (çünkü asla seçilmeyecek).
- Geriye kalan elemanlar, alt kümelerimizi oluşturmak için serbestçe seçebileceğimiz elemanlardır: $\{1, 2, 4, 5\}$.
- 3. Adım: Serbest Elemanlarla Oluşturulabilecek Alt Küme Sayısını Bulalım
- Şimdi elimizde $C' = \{1, 2, 4, 5\}$ kümesi var. Bu kümenin eleman sayısı $n = 4$'tür.
- Bir kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur.
- O halde, $\{1, 2, 4, 5\}$ kümesiyle $2^4 = 16$ farklı alt küme oluşturabiliriz.
- Bu 16 alt kümenin her birine, 2. adımda "zaten seçili" saydığımız '3' elemanını eklediğimizde, sorudaki koşulları sağlayan alt kümeleri elde etmiş oluruz.
Örneğin, $\{1, 2, 4, 5\}$ kümesinin bir alt kümesi $\{1, 4\}$ ise, bizim aradığımız alt küme $\{1, 3, 4\}$ olacaktır. Bu alt kümede 3 var, 6 yok.
- 4. Adım: "Öz Alt Küme" Koşulunu Kontrol Edelim
- Öz alt kümeler, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerdir. Yani, $C$ kümesinin öz alt kümelerini arıyorsak, $C$ kümesinin kendisi olan $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'yı saymamalıyız.
- Bizim oluşturduğumuz alt kümeler, $\{1, 2, 4, 5\}$ kümesinin alt kümelerine '3' eklenerek elde edildi.
Bu alt kümelerin en büyüğü, $\{1, 2, 4, 5\}$ kümesinin kendisiyle '3' elemanının birleşimi olan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir.
- Bu $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi, orijinal $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesine eşit midir? Hayır, çünkü '6' elemanı eksiktir.
- Dolayısıyla, bizim bulduğumuz 16 alt kümenin hiçbiri orijinal $C$ kümesinin kendisine eşit değildir. Bu da demektir ki, bulduğumuz 16 alt kümenin hepsi aynı zamanda $C$ kümesinin birer öz alt kümesidir.
- 5. Adım: Sonucu Belirleyelim
- Tüm koşulları sağlayan 16 tane alt küme bulduk ve bunların hepsi aynı zamanda öz alt kümedir.
Cevap A seçeneğidir.
