Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir kümenin alt küme ve öz alt küme sayıları arasındaki ilişkiyi kullanarak kümenin eleman sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu konuyu birlikte pekiştirelim.
- Adım 1: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadelerle Gösterelim
Öncelikle, küme teorisindeki temel kavramları hatırlayalım:
- Bir kümenin eleman sayısına genellikle $n$ deriz.
- $n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur. Bu, kümenin sahip olabileceği tüm farklı alt kümelerin toplam sayısıdır.
- $n$ elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı ise $2^n - 1$ formülü ile bulunur. Öz alt kümeler, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümeleridir. Yani, tüm alt kümelerden bir tanesini (kümenin kendisini) çıkardığımızda öz alt küme sayısını elde ederiz.
- Soru bize, bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamının 63 olduğunu söylüyor.
- Adım 2: Verilen Bilgileri Denklem Haline Getirelim
Şimdi, yukarıdaki bilgileri kullanarak bir denklem oluşturalım:
- Alt küme sayısı: $2^n$
- Öz alt küme sayısı: $2^n - 1$
- Bu ikisinin toplamı 63 olduğuna göre, denklemimiz şu şekilde olacaktır:
- $2^n + (2^n - 1) = 63$
- Adım 3: Denklemi Çözelim
Denklemimizi adım adım çözerek $n$ değerini bulalım:
- Denklemimiz: $2^n + 2^n - 1 = 63$
- Sol taraftaki $2^n$ terimlerini birleştirelim. İki tane $2^n$ olduğu için $2 \cdot 2^n$ şeklinde yazabiliriz:
- $2 \cdot 2^n - 1 = 63$
- Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$). Burada $2$ sayısı aslında $2^1$ demektir. O halde $2^1 \cdot 2^n = 2^{1+n}$ veya $2^{n+1}$ olur:
- $2^{n+1} - 1 = 63$
- Şimdi $-1$ terimini denklemin sağ tarafına atalım. İşareti değişerek $+1$ olur:
- $2^{n+1} = 63 + 1$
- Denklemin sağ tarafını toplayalım:
- $2^{n+1} = 64$
- Şimdi 64 sayısını 2'nin bir kuvveti olarak yazmalıyız. 2'nin kuvvetlerini hatırlayalım:
- $2^1 = 2$
- $2^2 = 4$
- $2^3 = 8$
- $2^4 = 16$
- $2^5 = 32$
- $2^6 = 64$
- Gördüğümüz gibi, 64 sayısı $2^6$'ya eşittir. O halde denklemimiz şöyle olur:
- $2^{n+1} = 2^6$
- Tabanlar (2'ler) eşit olduğunda, üsler de eşit olmak zorundadır:
- $n+1 = 6$
- Şimdi $n$ değerini bulmak için 1'i denklemin sağ tarafına atalım:
- $n = 6 - 1$
- Sonuç olarak: $n = 5$
- Adım 4: Sonucu Değerlendirelim
Bulduğumuz $n=5$ değeri, kümenin eleman sayısını temsil eder. Yani bu küme 5 elemanlıdır.
- Cevabımızı kontrol edelim:
- 5 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı: $2^5 = 32$
- 5 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı: $2^5 - 1 = 31$
- Toplamları: $32 + 31 = 63$. Bu da soruda verilen bilgiyle tamamen uyuşmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
