A = {x: 1 ≤ x ≤ 100, x ∈ N} kümesi veriliyor. A kümesinin elemanlarından 3 ile bölünenler B kümesini, 5 ile bölünenler C kümesini oluşturuyor. Buna göre B ∩ C kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, belirli özelliklere sahip sayı kümelerini inceleyeceğiz ve bu kümelerin kesişimini bulacağız. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca çözelim.
Adım 1: Kümeleri Tanıyalım
Öncelikle verilen kümelerin ne anlama geldiğini netleştirelim:
A kümesi: $A = \{x: 1 \le x \le 100, x \in N\}$ olarak verilmiş. Bu, A kümesinin 1'den 100'e kadar olan tüm doğal sayıları içerdiği anlamına gelir. Yani $A = \{1, 2, 3, \dots, 99, 100\}$.
B kümesi: A kümesinin elemanlarından 3 ile bölünenler B kümesini oluşturuyor. Yani B kümesi, 1 ile 100 arasındaki 3'ün katı olan sayılardır. Örneğin $3, 6, 9, \dots$.
C kümesi: A kümesinin elemanlarından 5 ile bölünenler C kümesini oluşturuyor. Yani C kümesi, 1 ile 100 arasındaki 5'in katı olan sayılardır. Örneğin $5, 10, 15, \dots$.
$B \cap C$ kümesi: Bizden istenen $B \cap C$ kümesinin eleman sayısıdır. Kümelerde "kesişim" ($ \cap $) demek, her iki kümede de ortak olan elemanlar demektir. Yani $B \cap C$ kümesi, hem B kümesinde hem de C kümesinde bulunan elemanlardan oluşur. Bu da, 1 ile 100 arasındaki sayılardan hem 3'e hem de 5'e bölünebilen sayıları bulmamız gerektiği anlamına gelir.
Adım 2: Hem 3'e Hem de 5'e Bölünebilme Şartını Belirleyelim
Bir sayının hem 3'e hem de 5'e bölünebilmesi için, bu sayının 3 ve 5'in en küçük ortak katına (EKOK) bölünmesi gerekir. 3 ve 5 asal sayılar olduğu için, en küçük ortak katları (EKOK) bu iki sayının çarpımıdır:
$EKOK(3, 5) = 3 \times 5 = 15$
Bu durumda, $B \cap C$ kümesi, 1 ile 100 arasındaki 15'e bölünebilen sayılardan oluşur.
Adım 3: $B \cap C$ Kümesinin Elemanlarını Bulalım
Şimdi 1 ile 100 arasındaki 15'in katlarını bulalım:
İlk kat: $15 \times 1 = 15$ (1'den büyük veya eşit)
İkinci kat: $15 \times 2 = 30$
Üçüncü kat: $15 \times 3 = 45$
Dördüncü kat: $15 \times 4 = 60$
Beşinci kat: $15 \times 5 = 75$
Altıncı kat: $15 \times 6 = 90$
Yedinci kat: $15 \times 7 = 105$ (Bu sayı 100'den büyük olduğu için A kümesinin içinde değildir, dolayısıyla $B \cap C$ kümesinde de olamaz.)
Buna göre, $B \cap C$ kümesinin elemanları şunlardır: $\{15, 30, 45, 60, 75, 90\}$.
Adım 4: Eleman Sayısını Belirleyelim
Bulduğumuz elemanları saydığımızda, $B \cap C$ kümesinin 6 elemanı olduğunu görürüz.
Alternatif olarak, 1'den 100'e kadar olan sayılar içinde 15'in kaç katı olduğunu bulmak için 100'ü 15'e bölebiliriz:
$\lfloor \frac{100}{15} \rfloor = \lfloor 6.66\dots \rfloor = 6$
Bu da bize 1'den 100'e kadar 15'in 6 tane katı olduğunu gösterir.
Bu adımları takip ederek doğru cevabın 6 olduğunu bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
