A = {a, b, c, d, e} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle küme problemlerinden, özellikle kombinasyon konusundan güzel bir soru çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlamanızı sağlayacağım.
Bize verilen küme $A = \{a, b, c, d, e\}$'dir. Bu kümenin toplam 5 elemanı var. Bizden istenen, bu kümeden oluşturulacak 3 elemanlı alt kümelerden kaç tanesinde 'a' elemanının mutlaka bulunması gerektiğidir. Yani, oluşturacağımız her alt kümede 'a' elemanı kesinlikle olacak.
Madem ki 'a' elemanı oluşturacağımız 3 elemanlı alt kümelerin hepsinde bulunacak, o zaman bu alt kümelerin bir elemanı zaten 'a' olarak belirlenmiş demektir. Alt kümemiz şu şekilde başlayacak: $\{a, \_, \_\}$.
3 elemanlı bir alt küme oluşturmak istiyorduk ve 'a' elemanını zaten seçtik. Geriye seçmemiz gereken $3 - 1 = 2$ eleman kaldı. Bu 2 elemanı nereden seçeceğiz? 'a' elemanını zaten kullandığımız için, A kümesinin geri kalan elemanları arasından seçim yapmalıyız. A kümesinden 'a' elemanını çıkardığımızda kalan küme $A' = \{b, c, d, e\}$ olur. Bu kümenin $5 - 1 = 4$ elemanı vardır.
Şimdi elimizde 4 elemanlı bir küme ($A' = \{b, c, d, e\}$) var ve biz bu kümeden 2 eleman seçmek istiyoruz. Seçim yaparken elemanların sırası önemli olmadığı için bu bir kombinasyon problemidir. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
Burada $n = 4$ (seçim yapacağımız eleman sayısı) ve $k = 2$ (seçeceğimiz eleman sayısı). Şimdi formülü uygulayalım:
$C(4, 2) = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!}$
Faktöriyelleri açalım:
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$2! = 2 \times 1 = 2$
Şimdi yerine koyalım:
$C(4, 2) = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6$
Yaptığımız hesaplamalar sonucunda 6 farklı şekilde 2 eleman seçebileceğimizi bulduk. Bu da demektir ki, 'a' elemanı kesinlikle bulunan 3 elemanlı alt küme sayısı 6'dır. Bu alt kümeleri örnek olarak yazacak olursak:
Cevap B seçeneğidir.
