Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (1, 0) ve (5, 0)'dır. Parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatı 10 olduğuna göre bu parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x² - 12x + 10Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün denklemini bulmak için bize verilen önemli bilgileri adım adım nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz. Bir parabolün denklemini yazmanın farklı yolları vardır. Eğer parabolün x eksenini kestiği noktaları biliyorsak, bu bilgiyi kullanarak denklemi daha kolay bir şekilde oluşturabiliriz.
1. Adım: x eksenini kesen noktaları kullanarak parabolün genel denklemini yazma
Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar $x_1$ ve $x_2$ ise, parabolün denklemi genel olarak $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazılabilir. Bu formül, kökleri bilinen bir denklemi yazmaya benzer.
Soruda bize parabolün x eksenini kestiği noktaların $(1, 0)$ ve $(5, 0)$ olduğu verilmiş. Bu durumda $x_1 = 1$ ve $x_2 = 5$ olur.
Bu değerleri genel denkleme yerleştirelim:
$y = a(x - 1)(x - 5)$
Buradaki '$a$' katsayısı, parabolün kollarının yukarı mı aşağı mı baktığını ve ne kadar dar veya geniş olduğunu belirler. Bu değeri bulmak için bize verilen diğer bilgiyi kullanacağız.
2. Adım: y eksenini kestiği noktayı kullanarak '$a$' katsayısını bulma
Soruda parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatının $10$ olduğu belirtilmiş. Bu, parabolün $(0, 10)$ noktasından geçtiği anlamına gelir. Çünkü y ekseni üzerindeki tüm noktaların x koordinatı $0$'dır.
Şimdi bulduğumuz denkleme $x = 0$ ve $y = 10$ değerlerini yerleştirelim:
$10 = a(0 - 1)(0 - 5)$
$10 = a(-1)(-5)$
$10 = a(5)$
Şimdi '$a$' değerini bulmak için her iki tarafı $5$'e bölelim:
$a = \frac{10}{5}$
$a = 2$
3. Adım: Parabolün tam denklemini oluşturma
Şimdi bulduğumuz $a = 2$ değerini, ilk adımda oluşturduğumuz denkleme geri yerleştirelim:
$y = 2(x - 1)(x - 5)$
Bu denklemi daha standart bir form olan $y = Ax^2 + Bx + C$ şekline dönüştürmek için parantez içindeki ifadeleri çarpıp dağıtalım:
Önce $(x - 1)(x - 5)$ ifadesini çarpalım:
$(x - 1)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + (-1) \cdot x + (-1) \cdot (-5)$
$= x^2 - 5x - x + 5$
$= x^2 - 6x + 5$
Şimdi bu ifadeyi $2$ ile çarpalım:
$y = 2(x^2 - 6x + 5)$
$y = 2x^2 - 12x + 10$
4. Adım: Seçeneklerle karşılaştırma
Bulduğumuz parabol denklemi $y = 2x^2 - 12x + 10$'dur.
Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $y = 2x^2 - 12x + 10$
B) $y = -2x^2 + 12x + 10$
C) $y = 2x^2 + 12x + 10$
D) $y = -2x^2 - 12x + 10$
Görüldüğü gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
