Parabol x eksenini (-4, 0) ve (2, 0) noktalarında kesmektedir. Parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -8) olduğuna göre denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x² + 2x - 8
B) y = -x² - 2x - 8
C) y = x² - 2x - 8
D) y = -x² + 2x - 8
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir parabolün x eksenini kestiği noktaları ve y eksenini kestiği noktayı kullanarak parabolün denklemini bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: x-eksenini Kestiği Noktaları Belirleyelim
- Parabolün x-eksenini kestiği noktalar $(-4, 0)$ ve $(2, 0)$ olarak verilmiştir. Bu noktalar parabolün kökleridir. Yani, $x_1 = -4$ ve $x_2 = 2$ diyebiliriz.
- Bir parabolün x-eksenini kestiği noktalar (kökler) bilindiğinde, parabolün denklemi genel olarak $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazılabilir. Bu formüle "çarpım formu" veya "kökler formu" denir.
- Adım 2: Parabolün Genel Denklemini Yazalım
- Bulduğumuz $x_1 = -4$ ve $x_2 = 2$ değerlerini genel denkleme yerleştirelim:
- $y = a(x - (-4))(x - 2)$
- $y = a(x + 4)(x - 2)$
- Şimdi tek bilinmeyenimiz 'a' katsayısı kaldı. Bu katsayıyı bulmak için parabolün geçtiği üçüncü bir noktayı kullanacağız.
- Adım 3: 'a' Katsayısını Bulalım
- Soruda parabolün y-eksenini kestiği noktanın $(0, -8)$ olduğu belirtilmiştir. Bu nokta parabolün üzerindedir ve denklemi sağlamak zorundadır.
- Denklemimizde $x = 0$ ve $y = -8$ değerlerini yerine koyalım:
- $-8 = a(0 + 4)(0 - 2)$
- $-8 = a(4)(-2)$
- $-8 = -8a$
- Şimdi 'a' değerini bulmak için her iki tarafı $-8$'e bölelim:
- $a = \frac{-8}{-8}$
- $a = 1$
- Harika! 'a' katsayısını bulduk.
- Adım 4: Parabolün Denklemini Oluşturalım
- Bulduğumuz $a = 1$ değerini Adım 2'deki genel denkleme geri yazalım:
- $y = 1(x + 4)(x - 2)$
- $y = (x + 4)(x - 2)$
- Adım 5: Denklemi Açalım ve Sadeleştirelim
- Şimdi parantezleri dağıtarak denklemi standart $y = Ax^2 + Bx + C$ formuna getirelim:
- $y = x \cdot x + x \cdot (-2) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-2)$
- $y = x^2 - 2x + 4x - 8$
- Benzer terimleri birleştirelim ($ -2x + 4x = 2x$):
- $y = x^2 + 2x - 8$
- İşte parabolümüzün denklemini bulduk!
- Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz denklem $y = x^2 + 2x - 8$ şeklindedir.
- Seçeneklere baktığımızda, bu denklemin A seçeneği ile tamamen aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
