Kütlesi $m$, yarıçapı $r$ olan bir katı silindirin merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti $I = \frac{1}{2}mr^2$'dir. Aynı silindirin yüzeyine paralel teğet eksene göre eylemsizlik momenti kaç $mr^2$ olur?
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{3}{2}$
C) 2
D) $\frac{5}{2}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir katı silindirin eylemsizlik momentini, farklı bir eksene göre nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. Özellikle, paralel eksenler teoremini kullanarak bu tür problemleri kolayca çözebiliriz.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Silindirin kütlesi $m$ ve yarıçapı $r$'dir.
- Silindirin merkezinden geçen eksene (yani kütle merkezinden geçen eksene) göre eylemsizlik momenti $I_{merkez} = \frac{1}{2}mr^2$ olarak verilmiştir. Bu eksen, silindirin uzunluğu boyunca uzanan simetri eksenidir.
- 2. Ne Bulmamız Gerekiyor?
- Silindirin yüzeyine paralel teğet eksene göre eylemsizlik momentini bulmamız isteniyor. Bu eksen, silindirin yüzeyine teğet olan ve merkezinden geçen eksene paralel olan bir eksendir.
- 3. Hangi İlkeyi Kullanacağız?
- Kütle merkezinden geçmeyen paralel bir eksene göre eylemsizlik momentini hesaplamak için Paralel Eksenler Teoremi'ni kullanırız.
- Paralel Eksenler Teoremi'nin formülü şöyledir: $I = I_{CM} + Md^2$.
- Burada:
- $I$: Kütle merkezinden geçmeyen paralel eksene göre eylemsizlik momenti.
- $I_{CM}$: Kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti (soruda $I_{merkez}$ olarak verilmiş).
- $M$: Cismin toplam kütlesi (soruda $m$).
- $d$: Kütle merkezinden geçen eksen ile yeni paralel eksen arasındaki dik uzaklık.
- 4. Teoremi Uygulayalım:
- Bizim durumumuzda, $I_{CM}$ değeri $I_{merkez} = \frac{1}{2}mr^2$'dir.
- Cismin kütlesi $M = m$'dir.
- Yeni eksen, silindirin yüzeyine teğet ve merkez eksenine paraleldir. Bu durumda, merkez ekseni ile teğet eksen arasındaki dik uzaklık, silindirin yarıçapı kadar olacaktır. Yani $d = r$.
- 5. Değerleri Formülde Yerine Koyalım:
- $I_{teğet} = I_{merkez} + mr^2$
- $I_{teğet} = \frac{1}{2}mr^2 + mr^2$
- 6. Sonucu Hesaplayalım:
- $I_{teğet} = (\frac{1}{2} + 1)mr^2$
- $I_{teğet} = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})mr^2$
- $I_{teğet} = \frac{3}{2}mr^2$
Buna göre, silindirin yüzeyine paralel teğet eksene göre eylemsizlik momenti $\frac{3}{2}mr^2$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
