Aynı maddeden yapılmış, içi dolu küre ve içi boş ince cidarlı küre eşit yarıçaplara sahiptir. Bu iki küre aynı eksen etrafında döndürüldüğünde eylemsizlik momentleri karşılaştırıldığında hangi sonuç elde edilir?
A) İçi dolu kürenin eylemsizlik momenti daha büyüktür
B) İçi boş kürenin eylemsizlik momenti daha büyüktür
C) Eylemsizlik momentleri eşittir
D) Karşılaştırma için kütleler verilmelidir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı kürenin eylemsizlik momentlerini karşılaştıracağız. Eylemsizlik momenti, bir cismin dönme hareketine karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür. Bu değer, cismin kütlesine ve bu kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığına bağlıdır. Kütle, dönme ekseninden ne kadar uzakta yoğunlaşırsa, eylemsizlik momenti o kadar büyük olur.
- 1. Eylemsizlik Momenti Formülleri:
- İçi dolu bir kürenin kendi ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti $I_{dolu} = \frac{2}{5}MR^2$ formülü ile hesaplanır. Burada $M$ kürenin toplam kütlesi, $R$ ise yarıçapıdır.
- İçi boş (ince cidarlı) bir kürenin kendi ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti $I_{boş} = \frac{2}{3}MR^2$ formülü ile hesaplanır. Burada da $M$ kürenin toplam kütlesi, $R$ ise yarıçapıdır.
- 2. Kütle Dağılımının Önemi:
- Eylemsizlik momenti formüllerindeki $\frac{2}{5}$ ve $\frac{2}{3}$ katsayıları, kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığını gösterir.
- İçi dolu kürede kütle, kürenin hacmi boyunca homojen bir şekilde dağılmıştır, yani kütlenin bir kısmı merkeze daha yakındır.
- İçi boş ince cidarlı kürede ise kütle, kürenin dış yüzeyine, yani dönme ekseninden mümkün olan en uzak mesafeye (yarıçap $R$ kadar) yoğunlaşmıştır.
- 3. Karşılaştırma:
- Soruda kürelerin "aynı maddeden yapılmış" ve "eşit yarıçaplara sahip" olduğu belirtilmiştir. Bu durum, içi dolu kürenin toplam kütlesinin, içi boş ince cidarlı kürenin kütlesinden daha fazla olacağı anlamına gelir (çünkü içi dolu küre daha fazla malzeme içerir).
- Ancak, bu tür eylemsizlik momenti karşılaştırmalarında, genellikle kütle dağılımının etkisini net bir şekilde görmek için cisimlerin toplam kütlelerinin ($M$) eşit olduğu varsayılır. Eğer kütleler eşit olsaydı:
- İçi dolu küre için katsayı: $\frac{2}{5} = 0.4$
- İçi boş küre için katsayı: $\frac{2}{3} \approx 0.67$
- Görüldüğü gibi, içi boş kürenin eylemsizlik momenti formülündeki katsayı, içi dolu küreninkinden daha büyüktür ($\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$). Bu, içi boş kürenin kütlesinin dönme ekseninden ortalama olarak daha uzakta bulunmasından kaynaklanır. Kütle eksenden ne kadar uzakta olursa, dönme hareketine karşı gösterilen direnç (eylemsizlik momenti) o kadar artar.
- Dolayısıyla, kütle dağılımı açısından bakıldığında, içi boş kürenin eylemsizlik momenti daha büyüktür.
Cevap B seçeneğidir.
