Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir sıvının içine bırakılan cismin hareketini inceleyeceğiz. Cismin özkütlesi sıvının özkütlesinden farklı olduğu için, cisim ya batacak ya da yüzecektir. Bu durumda cisme etki eden kuvvetleri belirleyip Newton'ın İkinci Yasası'nı kullanarak ivmesini bulacağız. Haydi adım adım ilerleyelim!
-
1. Adım: Birimleri Dönüştürme
Fizik problemlerinde birim tutarlılığı çok önemlidir. Soruda özkütleler $\text{g/cm}^3$ cinsinden verilmişken, yer çekimi ivmesi $g$ ve bizden istenen ivme $\text{m/s}^2$ cinsindendir. Bu yüzden özkütleleri $\text{kg/m}^3$ cinsine çevirmemiz gerekiyor. Unutmayın, $1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3$.
- Cismin özkütlesi: $\rho_c = 2 \text{ g/cm}^3 = 2 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 2000 \text{ kg/m}^3$.
- Sıvının özkütlesi: $\rho_s = 1.2 \text{ g/cm}^3 = 1.2 \times 1000 \text{ kg/m}^3 = 1200 \text{ kg/m}^3$.
- Yer çekimi ivmesi: $g = 10 \text{ m/s}^2$.
-
2. Adım: Cisme Etki Eden Kuvvetleri Belirleme
Sıvı içerisindeki bir cisme iki temel kuvvet etki eder:
- Ağırlık ($G$): Cismi aşağı doğru çeken kuvvettir. Cismin kütlesi ($m_c$) ile yer çekimi ivmesinin ($g$) çarpımıdır. Yani $G = m_c \cdot g$. Cismin kütlesini, özkütlesi ($\rho_c$) ve hacmi ($V_c$) cinsinden $m_c = \rho_c \cdot V_c$ olarak yazabiliriz. Böylece ağırlık $G = \rho_c \cdot V_c \cdot g$ olur.
- Kaldırma Kuvveti ($F_k$): Sıvının cisme yukarı doğru uyguladığı kuvvettir. Arşimet Prensibi'ne göre, kaldırma kuvveti cismin batan kısmının hacmi kadar yer değiştiren sıvının ağırlığına eşittir. Cisim tamamen sıvıya battığı için batan hacim, cismin hacmine ($V_c$) eşittir. Bu durumda kaldırma kuvveti $F_k = \rho_s \cdot V_c \cdot g$ olur.
-
3. Adım: Net Kuvveti ve Newton'ın İkinci Yasası'nı Uygulama
Cismin özkütlesi ($2000 \text{ kg/m}^3$) sıvının özkütlesinden ($1200 \text{ kg/m}^3$) büyük olduğu için cisim batacaktır. Bu durumda ağırlık, kaldırma kuvvetinden daha büyüktür ve net kuvvet aşağı yönlüdür.
- Net kuvvet: $F_{net} = G - F_k$.
- Newton'ın İkinci Yasası: $F_{net} = m_c \cdot a$, burada $a$ cismin ivmesidir.
- Bu iki ifadeyi birleştirirsek: $G - F_k = m_c \cdot a$.
- Şimdi kuvvetlerin ve kütlenin ifadelerini yerine yazalım:
- $(\rho_c \cdot V_c \cdot g) - (\rho_s \cdot V_c \cdot g) = (\rho_c \cdot V_c) \cdot a$.
-
4. Adım: İvmeyi Hesaplama
Denklemde her terimde cismin hacmi ($V_c$) bulunduğunu fark ettiniz mi? Bu, $V_c$ terimini sadeleştirebileceğimiz anlamına gelir. Bu harika bir kolaylık!
- $V_c (\rho_c \cdot g - \rho_s \cdot g) = V_c (\rho_c \cdot a)$.
- $V_c$ terimlerini sadeleştirelim: $\rho_c \cdot g - \rho_s \cdot g = \rho_c \cdot a$.
- Denklemi $g$ parantezine alalım: $g (\rho_c - \rho_s) = \rho_c \cdot a$.
- Şimdi ivme ($a$) için denklemi düzenleyelim: $a = g \cdot \frac{(\rho_c - \rho_s)}{\rho_c}$.
- Bu formülü $a = g \cdot (1 - \frac{\rho_s}{\rho_c})$ şeklinde de yazabiliriz.
-
5. Adım: Değerleri Yerine Koyma
Şimdi bulduğumuz formülde sayısal değerleri yerine koyarak ivmeyi hesaplayalım:
- $a = 10 \text{ m/s}^2 \cdot \frac{(2000 \text{ kg/m}^3 - 1200 \text{ kg/m}^3)}{2000 \text{ kg/m}^3}$.
- $a = 10 \cdot \frac{800}{2000}$.
- $a = 10 \cdot \frac{8}{20}$.
- $a = 10 \cdot \frac{2}{5}$.
- $a = 4 \text{ m/s}^2$.
Gördüğünüz gibi, cismin ivmesi $4 \text{ m/s}^2$ olarak bulunur. Bu, cismin her saniye hızının $4 \text{ m/s}$ arttığı anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
