Hacim nedir Test 1

İç yarıçapı 5 cm olan küresel bir balon, yarıçapı 10 cm olacak şekilde şişiriliyor.
Balonun hacmi kaç katına çıkmıştır? (Küre hacmi: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$)

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

Bu soruda, bir kürenin hacim formülünü kullanarak balonun şişirilmeden önceki ve sonraki hacimlerini hesaplayıp, hacmin kaç katına çıktığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Kürenin Hacim Formülünü Hatırlayalım

  Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere şu formülle bulunur:

  $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

• 2. Adım: Balonun Başlangıç Hacmini ($V_1$) Hesaplayalım

  Balonun başlangıçtaki iç yarıçapı $r_1 = 5$ cm olarak verilmiş. Bu değeri hacim formülünde yerine koyalım:

  $V_1 = \frac{4}{3}\pi (5)^3$

  $V_1 = \frac{4}{3}\pi (125)$

  $V_1 = \frac{500}{3}\pi$ santimetreküp.

• 3. Adım: Balonun Şişirildikten Sonraki Hacmini ($V_2$) Hesaplayalım

  Balon şişirildikten sonra yarıçapı $r_2 = 10$ cm oluyor. Bu değeri de hacim formülünde yerine koyalım:

  $V_2 = \frac{4}{3}\pi (10)^3$

  $V_2 = \frac{4}{3}\pi (1000)$

  $V_2 = \frac{4000}{3}\pi$ santimetreküp.

• 4. Adım: Hacmin Kaç Katına Çıktığını Bulalım

  Hacmin kaç katına çıktığını bulmak için son hacmi ($V_2$) başlangıç hacmine ($V_1$) böleriz:

  Kat oranı $= \frac{V_2}{V_1}$

  Kat oranı $= \frac{\frac{4000}{3}\pi}{\frac{500}{3}\pi}$

  Bu ifadede $\frac{4}{3}\pi$ terimleri hem pay hem de paydada bulunduğundan sadeleşecektir. Geriye sadece yarıçapların küplerinin oranı kalır:

  Kat oranı $= \frac{1000}{125}$

  Şimdi bu bölme işlemini yapalım:

  $1000 \div 125 = 8$

  Yani balonun hacmi $8$ katına çıkmıştır.

Bu tür sorularda, yarıçapın küpü ile hacmin doğru orantılı olduğunu unutmayın. Yarıçap 2 katına çıktığında ($5$ cm'den $10$ cm'ye), hacim $2^3 = 8$ katına çıkar. Bu pratik bilgiyi de aklınızda tutarak hızlıca sonuca ulaşabilirsiniz!

Cevap D seçeneğidir.