İşlem özellikleri (Değişme, Birleşme, Etkisiz Eleman) Test 1

Reel sayılar kümesinde ◊ işlemi a ◊ b = a + b + ab şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre bu işlemin etkisiz elemanı kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Bir işlemin etkisiz elemanını bulmak için izlememiz gereken adımları birlikte görelim.

• Etkisiz Eleman (Birim Eleman) Tanımı: Bir $\diamond$ işlemi için etkisiz eleman $e$ öyle bir elemandır ki, kümedeki her $a$ elemanı için $a \diamond e = a$ ve $e \diamond a = a$ eşitlikleri sağlanır. Yani, $e$ ile işleme girdiğinde elemanın kendisini değiştirmeyen elemandır.
• Verilen İşlemi Uygulayalım: Sorumuzda işlem $a \diamond b = a + b + ab$ şeklinde tanımlanmış. Etkisiz elemanı $e$ olarak kabul edelim ve tanımı uygulayarak $a \diamond e = a$ eşitliğini kuralım.
• Denklemi Kuralım: $a \diamond e$ yerine işlemin tanımını yazarsak, $a + e + ae = a$ denklemini elde ederiz.
• $e$ Değerini Bulmak İçin Denklemi Çözelim:

  Denklemin her iki tarafından $a$ çıkaralım:

  $e + ae = 0$

  Şimdi $e$ parantezine alalım:

  $e(1 + a) = 0$

  Bu eşitliğin sağlanması için iki durum vardır: Ya $e = 0$ olmalıdır ya da $1 + a = 0$ (yani $a = -1$) olmalıdır. Ancak etkisiz eleman, kümedeki tüm $a$ elemanları için geçerli olmalıdır. Eğer $a = -1$ olsaydı, $e$ herhangi bir değer alabilirdi (çünkü $e(1 + (-1)) = e(0) = 0$ olurdu). Fakat $e$ tek bir değer olmalı ve bu değer tüm $a$ değerleri için $a \diamond e = a$ eşitliğini sağlamalıdır. Bu nedenle, $e$ değerinin $a$'dan bağımsız olması gerekir. Bu durumda tek seçenek $e = 0$ olmasıdır.

• Sağlamasını Yapalım: Bulduğumuz $e = 0$ değerinin gerçekten etkisiz eleman olup olmadığını kontrol edelim.

  Önce $a \diamond e = a$ koşulunu kontrol edelim:

  $a \diamond 0 = a + 0 + a \cdot 0 = a + 0 + 0 = a$. Bu eşitlik sağlandı.

  Şimdi de $e \diamond a = a$ koşulunu kontrol edelim:

  $0 \diamond a = 0 + a + 0 \cdot a = 0 + a + 0 = a$. Bu eşitlik de sağlandı.

  Gördüğümüz gibi, $e = 0$ değeri her iki koşulu da sağlamaktadır.

Cevap B seçeneğidir.