Polinom nedir Test 1

Gerçek katsayılı P(x) polinomu için P(x+1) + P(x-1) = 4x² - 2x + 10 eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10

Merhaba öğrenciler, bu problemde bir polinomun katsayılar toplamını bulmamız isteniyor. Katsayılar toplamını bulmak için genellikle $P(1)$ değerini hesaplarız. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim.

• 1. Adım: $P(x)$ polinomunun derecesini belirleyelim.

  Verilen eşitlik $P(x+1) + P(x-1) = 4x^2 - 2x + 10$ şeklindedir. Eşitliğin sağ tarafı 2. dereceden bir polinomdur. Bu durumda $P(x)$ polinomunun da 2. dereceden olması gerekir. Eğer $P(x)$ daha yüksek dereceli olsaydı, $P(x+1) + P(x-1)$ de daha yüksek dereceli olurdu. Eğer $P(x)$ daha düşük dereceli olsaydı (örneğin 1. derece veya 0. derece), $P(x+1) + P(x-1)$ 2. dereceden olamazdı.

  Bu nedenle, $P(x)$ polinomunu genel 2. derece formuyla ifade edebiliriz: $P(x) = ax^2 + bx + c$.

• 2. Adım: $P(x+1)$ ve $P(x-1)$ ifadelerini yazalım.

  $P(x) = ax^2 + bx + c$ ise:

  • $P(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$
  • $P(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

• 3. Adım: $P(x+1) + P(x-1)$ ifadesini hesaplayalım.

  Şimdi bu iki ifadeyi toplayalım ve düzenleyelim:

  $P(x+1) = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c$

  $P(x-1) = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

  Bu iki ifadeyi toplarsak:

  $P(x+1) + P(x-1) = (ax^2 + 2ax + a + bx + b + c) + (ax^2 - 2ax + a + bx - b + c)$

  Benzer terimleri bir araya getirelim:

  • $x^2$ terimleri: $ax^2 + ax^2 = 2ax^2$
  • $x$ terimleri: $2ax - 2ax + bx + bx = 2bx$
  • Sabit terimler: $a + a + b - b + c + c = 2a + 2c$

  Böylece, $P(x+1) + P(x-1) = 2ax^2 + 2bx + (2a + 2c)$ elde ederiz.

• 4. Adım: Katsayıları eşitleyerek $a, b, c$ değerlerini bulalım.

  Verilen eşitlik $P(x+1) + P(x-1) = 4x^2 - 2x + 10$ idi. Bulduğumuz ifadeyi bu eşitliğe eşitleyelim:

  $2ax^2 + 2bx + (2a + 2c) = 4x^2 - 2x + 10$

  Şimdi aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitleyelim:

  • $x^2$ katsayıları: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$
  • $x$ katsayıları: $2b = -2 \Rightarrow b = -1$
  • Sabit terimler: $2a + 2c = 10$

  $a=2$ değerini son denkleme yerine koyalım:

  $2(2) + 2c = 10$

  $4 + 2c = 10$

  $2c = 6$

  $c = 3$

• 5. Adım: $P(x)$ polinomunu yazalım.

  Bulduğumuz $a=2$, $b=-1$ ve $c=3$ değerlerini yerine koyarsak:

  $P(x) = 2x^2 - x + 3$

• 6. Adım: $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamını bulalım.

  Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için $x$ yerine $1$ yazarız, yani $P(1)$ değerini hesaplarız.

  $P(1) = 2(1)^2 - (1) + 3$

  $P(1) = 2(1) - 1 + 3$

  $P(1) = 2 - 1 + 3$

  $P(1) = 1 + 3$

  $P(1) = 4$

Buna göre, $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı $4$'tür.

Cevap B seçeneğidir.