Polinom nedir Test 1

P(x) bir polinom olmak üzere, P(x-2) + P(x+2) = 2x² - 4x + 16 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda bize bir polinom eşitliği verilmiş ve $P(x)$ polinomunun sabit terimini bulmamız isteniyor. Bir polinomun sabit terimi, o polinomda $x$ yerine $0$ yazıldığında elde edilen değerdir. Yani bizden $P(0)$ değerini bulmamız bekleniyor.

• 1. Adım: $P(x)$ polinomunun derecesini belirleyelim.

  Verilen eşitlik $P(x-2) + P(x+2) = 2x^2 - 4x + 16$ şeklindedir. Eşitliğin sağ tarafı $2x^2 - 4x + 16$ ikinci dereceden bir polinomdur. Eğer $P(x)$ polinomu birinci dereceden olsaydı (örneğin $ax+b$), $P(x-2) + P(x+2)$ ifadesi de birinci dereceden olurdu. Eğer $P(x)$ polinomu üçüncü dereceden olsaydı, $P(x-2) + P(x+2)$ ifadesi de üçüncü dereceden olurdu. Dolayısıyla, eşitliğin her iki tarafının derecesi aynı olmalıdır. Bu durumda $P(x)$ polinomu ikinci dereceden bir polinom olmalıdır.

• 2. Adım: $P(x)$ polinomunu genel haliyle yazalım.

  $P(x)$ ikinci dereceden bir polinom olduğu için, genel hali $P(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde yazılabilir. Burada $a$, $b$, $c$ birer sabittir ve $a \neq 0$'dır. Bizden istenen $P(x)$ polinomunun sabit terimi, yani $P(0)$ değeri, bu genel ifadede $x=0$ yazıldığında $c$ değerine eşit olacaktır. Amacımız $c$ değerini bulmaktır.

• 3. Adım: $P(x-2)$ ve $P(x+2)$ ifadelerini bulalım.

  $P(x) = ax^2 + bx + c$ olduğuna göre:

  • $P(x-2) = a(x-2)^2 + b(x-2) + c$
  • $P(x-2) = a(x^2 - 4x + 4) + bx - 2b + c$
  • $P(x-2) = ax^2 - 4ax + 4a + bx - 2b + c$

  Ve

  • $P(x+2) = a(x+2)^2 + b(x+2) + c$
  • $P(x+2) = a(x^2 + 4x + 4) + bx + 2b + c$
  • $P(x+2) = ax^2 + 4ax + 4a + bx + 2b + c$

• 4. Adım: $P(x-2) + P(x+2)$ ifadesini toplayalım ve düzenleyelim.

  Şimdi bu iki ifadeyi toplayalım:

  $P(x-2) + P(x+2) = (ax^2 - 4ax + 4a + bx - 2b + c) + (ax^2 + 4ax + 4a + bx + 2b + c)$

  Benzer terimleri bir araya getirelim:

  • $x^2$ terimleri: $ax^2 + ax^2 = 2ax^2$
  • $x$ terimleri: $-4ax + bx + 4ax + bx = 2bx$
  • Sabit terimler: $4a - 2b + c + 4a + 2b + c = 8a + 2c$

  Böylece $P(x-2) + P(x+2) = 2ax^2 + 2bx + (8a + 2c)$ elde ederiz.

• 5. Adım: Bulduğumuz ifadeyi verilen eşitlikle karşılaştıralım ve katsayıları eşitleyelim.

  Bize verilen eşitlik $P(x-2) + P(x+2) = 2x^2 - 4x + 16$ idi. Şimdi bulduğumuz ifadeyi bu eşitlikle karşılaştıralım:

  $2ax^2 + 2bx + (8a + 2c) = 2x^2 - 4x + 16$

  Polinom eşitliğinde, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır:

  • $x^2$ terimlerinin katsayıları: $2a = 2 \implies a = 1$
  • $x$ terimlerinin katsayıları: $2b = -4 \implies b = -2$
  • Sabit terimler: $8a + 2c = 16$

• 6. Adım: $P(x)$ polinomunun sabit terimini ($c$) bulalım.

  Son eşitlik olan $8a + 2c = 16$ denkleminde $a=1$ değerini yerine yazalım:

  • $8(1) + 2c = 16$
  • $8 + 2c = 16$
  • $2c = 16 - 8$
  • $2c = 8$
  • $c = 4$

  Buna göre, $P(x)$ polinomunun sabit terimi $c=4$'tür.

Cevap D seçeneğidir.