İntegral alma kuralları Test 1

9. \( \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx \) integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( x^5 - x^3 + 2x + C \)
B) \( 5x^5 - 3x^3 + 2x + C \)
C) \( 20x^3 - 6x + C \)
D) \( \frac{5}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + C \)

Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen bir fonksiyonun belirsiz integralini bulmamız isteniyor. İntegral alma kurallarını adım adım uygulayarak doğru sonuca ulaşalım.

• İntegral Alma Kuralları:

  Bir fonksiyonun integralini alırken kullanacağımız temel kuralları hatırlayalım:

  • Toplama/Çıkarma Kuralı: İki fonksiyonun toplamının veya farkının integrali, ayrı ayrı integrallerinin toplamına veya farkına eşittir. Yani, $ \int (f(x) \pm g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx $.
  • Sabit Çarpım Kuralı: Bir sabitle çarpılmış fonksiyonun integrali, sabitin fonksiyonun integralinin dışına alınmasıyla bulunur. Yani, $ \int c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int f(x) \, dx $.
  • Üs Kuralı: $ x^n $ şeklindeki bir ifadenin integrali $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ şeklindedir (burada $ n \neq -1 $).
  • Sabit Terimin İntegrali: Bir sabit sayının integrali $ kx + C $ şeklindedir. Örneğin, $ \int k \, dx = kx + C $.
  • İntegral Sabiti: Belirsiz integral alırken her zaman bir $ + C $ (integral sabiti) eklemeyi unutmayız.
• İfadeyi Ayırma:

  Verilen integral $ \int (5x^4 - 3x^2 + 2) \, dx $ şeklindedir. Toplama/çıkarma kuralını kullanarak her terimin integralini ayrı ayrı alabiliriz:

  $ \int 5x^4 \, dx - \int 3x^2 \, dx + \int 2 \, dx $

• Sabitleri Dışarı Çekme:

  Sabit çarpım kuralını uygulayarak sabit sayıları integralin dışına alalım:

  $ 5 \int x^4 \, dx - 3 \int x^2 \, dx + \int 2 \, dx $

• Her Terimin İntegralini Alma:

  Şimdi her bir terimin integralini üs kuralı ve sabit terim kuralını kullanarak alalım:

  • Birinci Terim ($ 5 \int x^4 \, dx $):

    $ 5 \cdot \left( \frac{x^{4+1}}{4+1} \right) = 5 \cdot \left( \frac{x^5}{5} \right) = x^5 $

  • İkinci Terim ($ -3 \int x^2 \, dx $):

    $ -3 \cdot \left( \frac{x^{2+1}}{2+1} \right) = -3 \cdot \left( \frac{x^3}{3} \right) = -x^3 $

  • Üçüncü Terim ($ \int 2 \, dx $):

    Sabit bir sayının integrali $ kx $ şeklindedir. Bu durumda:

    $ 2x $

• Sonuçları Birleştirme ve İntegral Sabiti Ekleme:

  Bulduğumuz terimleri bir araya getirip integral sabiti $ C $'yi ekleyelim:

  $ x^5 - x^3 + 2x + C $

• Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz sonuç olan $ x^5 - x^3 + 2x + C $ seçeneği ile karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.