Karmaşık sayılarda bölme Test 1

$\frac{3 + 4i}{1 + 2i}$ işleminin sonucu nedir?

A) $\frac{11}{5} + \frac{2}{5}i$
B) $\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$
C) $\frac{2}{5} + \frac{11}{5}i$
D) $\frac{2}{5} - \frac{11}{5}i$

Karmaşık sayılarla bölme işlemi yaparken, paydadaki karmaşık sayının eşleniği (konjugesi) ile hem payı hem de paydayı çarparız. Bu işlem, paydayı bir reel sayıya dönüştürerek bölme işlemini kolaylaştırır.

• Adım 1: Paydadaki karmaşık sayının eşleniğini belirleyelim.

  Paydadaki karmaşık sayımız $1 + 2i$'dir. Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işaretini değiştirerek bulunur. Bu durumda, $1 + 2i$'nin eşleniği $1 - 2i$'dir.

• Adım 2: Kesri, paydanın eşleniği ile genişletelim.

  Hem payı hem de paydayı $1 - 2i$ ile çarpıyoruz:

  $\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \times \frac{1 - 2i}{1 - 2i}$

• Adım 3: Pay kısmını çarpalım.

  $(3 + 4i)(1 - 2i)$ işlemini dağıtarak yapalım:

  $3 \times 1 + 3 \times (-2i) + 4i \times 1 + 4i \times (-2i)$

  $= 3 - 6i + 4i - 8i^2$

  Unutmayalım ki $i^2 = -1$'dir. Bu değeri yerine koyalım:

  $= 3 - 2i - 8(-1)$

  $= 3 - 2i + 8$

  $= 11 - 2i$

• Adım 4: Payda kısmını çarpalım.

  $(1 + 2i)(1 - 2i)$ işlemini yaparken, $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ özdeşliğini kullanabiliriz:

  $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

  Veya dağıtarak yaparsak:

  $1 \times 1 + 1 \times (-2i) + 2i \times 1 + 2i \times (-2i)$

  $= 1 - 2i + 2i - 4i^2$

  $= 1 - 4(-1)$

  $= 1 + 4$

  $= 5$

• Adım 5: Elde ettiğimiz pay ve paydayı birleştirelim ve sonucu sadeleştirelim.

  Payımız $11 - 2i$, paydamız ise $5$ idi. Bu durumda kesrimiz:

  $\frac{11 - 2i}{5}$

  Bu ifadeyi reel ve sanal kısımlarını ayırarak yazabiliriz:

  $\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$

Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.