Karmaşık sayılarda bölme

Question

Karmaşık sayılarda bölme işlemini yaparken pay ve paydayı, paydanın eşleniği ile genişletiyoruz ama sonrasında işlemleri sadeleştirirken hata yapıyorum. Özellikle i² yerine -1 yazmayı unutunca sonuç hep yanlış çıkıyor. Bu kısmı tam oturtamadım.

Answer 1

Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi 🧮

Karmaşık sayılarda bölme işlemi yapmak için, paydayı gerçek sayı haline getirmemiz gerekir. Bunun için eşlenik kavramını kullanırız.

📌 Karmaşık Sayının Eşleniği

Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işaretinin değiştirilmesiyle elde edilir.

\( z = a + bi \) karmaşık sayısının eşleniği \( \overline{z} = a - bi \) şeklindedir.

🎯 Bölme İşlemi Adımları

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \) işlemini yapmak için:

• ✅ 1. Adım: Pay ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarp
• ✅ 2. Adım: Payı dağıt ve çarp
• ✅ 3. Adım: Paydayı hesapla (gerçek sayı elde edilir)
• ✅ 4. Adım: Sonucu standart forma getir

📝 Örnek Çözüm

\( \frac{3 + 2i}{1 - i} \) işlemini yapalım:

Pay ve paydayı paydanın eşleniği (\(1 + i\)) ile çarpalım:

\( \frac{(3 + 2i)}{(1 - i)} \times \frac{(1 + i)}{(1 + i)} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} \)

Payın hesaplanması:

\( (3 + 2i)(1 + i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot i + 2i \cdot 1 + 2i \cdot i \)

\( = 3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i + 2(-1) = 1 + 5i \)

Paydanın hesaplanması:

\( (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \)

Sonuç:

\( \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i \)

💡 Önemli Kurallar

• ⭐ \( i^2 = -1 \) olduğunu unutma!
• ⭐ Paydanın eşleniği ile çarptığımızda payda her zaman gerçek sayı olur
• ⭐ Sonucu \( a + bi \) formunda yazmayı unutma

🔢 Formülle İfade

Genel olarak:

\( \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \)

\( = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i \)

🎓 Pratik İpucu

Karmaşık sayılarda bölme işlemini şu şekilde hatırlayabilirsin:

"Pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarp, sonra standart forma getir!" 🚀