Sevgili öğrenciler,
Bir parabolün x eksenine teğet olması durumu, parabol denkleminin önemli bir özelliğini kullanmamızı gerektirir. Bu tür soruları çözerken adım adım ilerleyelim:
- 1. Parabol Denklemini Tanımlayalım:
- Verilen parabol denklemi $f(x) = x^2 - (k-2)x + 9$'dur. Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde yazılır.
- Bu parabolün katsayıları şunlardır:
- $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
- $b = -(k-2)$ (çünkü $x$'in katsayısı $-(k-2)$'dir)
- $c = 9$ (çünkü sabit terim 9'dur)
- 2. X Ekseniyle Teğet Olma Şartını Hatırlayalım:
- Bir parabolün x eksenine teğet olması demek, parabolün x eksenini sadece bir noktada kesmesi demektir. Bu durum, parabolün denklemini sıfıra eşitlediğimizde (yani $f(x)=0$ denklemini çözdüğümüzde) tek bir kök bulmamız gerektiği anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin tek kökü olması için diskriminantının ($\Delta$) sıfıra eşit olması gerekir.
- Diskriminant formülü şöyledir: $\Delta = b^2 - 4ac$.
- 3. Diskriminantı Sıfıra Eşitleyelim:
- Şimdi bulduğumuz $a$, $b$ ve $c$ değerlerini diskriminant formülüne yerleştirip sıfıra eşitleyelim:
- $(-(k-2))^2 - 4(1)(9) = 0$
- 4. Denklemi Çözerek $k$ Değerlerini Bulalım:
- Denklemi adım adım basitleştirelim:
- $(-(k-2))^2$ ifadesi $(k-2)^2$'ye eşittir, çünkü bir sayının negatifinin karesi, o sayının karesine eşittir. Yani, $(k-2)^2 - 36 = 0$
- Şimdi 36'yı eşitliğin diğer tarafına atalım: $(k-2)^2 = 36$
- Her iki tarafın karekökünü alalım. Unutmayın, bir sayının karesi 36 ise, o sayı hem 6 hem de -6 olabilir: $k-2 = \pm \sqrt{36}$
- Yani, $k-2 = \pm 6$
- Bu bize iki farklı $k$ değeri verir:
- Birinci durum: $k-2 = 6 \implies k = 6 + 2 \implies k = 8$
- İkinci durum: $k-2 = -6 \implies k = -6 + 2 \implies k = -4$
- 5. $k$'nin Alabileceği Değerler Toplamını Bulalım:
- Bulduğumuz $k$ değerleri 8 ve -4'tür. Bu değerlerin toplamını bulalım:
- $8 + (-4) = 8 - 4 = 4$
Böylece, $k$'nin alabileceği değerler toplamının 4 olduğunu bulmuş oluruz.
Cevap A seçeneğidir.
