Evrensel küme $E$, $A$ ve $B$ alt kümeleri olmak üzere, $s(E) = 40$, $s(A') = 25$, $s(B') = 30$ ve $s(A' \cap B') = 15$ veriliyor. Buna göre, $s(A \cup B)$ kaçtır?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
Verilen Bilgileri Anlayalım: Soruda bize evrensel kümenin eleman sayısı $s(E) = 40$, $A$ kümesinin tümleyeninin eleman sayısı $s(A') = 25$, $B$ kümesinin tümleyeninin eleman sayısı $s(B') = 30$ ve $A$ kümesinin tümleyeni ile $B$ kümesinin tümleyeninin kesişiminin eleman sayısı $s(A' \cap B') = 15$ olarak verilmiştir. Bizden $s(A \cup B)$ değerini bulmamız isteniyor.
De Morgan Kurallarını Hatırlayalım: Küme teorisinde önemli bir kural olan De Morgan kurallarından biri, $(A \cup B)' = A' \cap B'$ şeklindedir. Bu kural, $A$ veya $B$'nin birleşiminin tümleyeninin, $A$'nın tümleyeni ile $B$'nin tümleyeninin kesişimine eşit olduğunu belirtir.
$(A \cup B)'$ Eleman Sayısını Bulalım: De Morgan kuralını kullanarak, $s((A \cup B)') = s(A' \cap B')$ eşitliğini yazabiliriz. Soruda $s(A' \cap B') = 15$ olarak verildiği için, bu değeri yerine koyduğumuzda $s((A \cup B)') = 15$ sonucunu elde ederiz. Bu, $A \cup B$ kümesinin dışındaki eleman sayısının 15 olduğu anlamına gelir.
$A \cup B$ Eleman Sayısını Hesaplayalım: Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı, evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. Bu ilişkiyi $s(X) + s(X') = s(E)$ veya $s(X) = s(E) - s(X')$ formülüyle ifade edebiliriz. Burada $X$ kümesi $A \cup B$ olduğu için, $s(A \cup B) = s(E) - s((A \cup B)')$ formülünü kullanırız. Verilen $s(E) = 40$ ve bir önceki adımda bulduğumuz $s((A \cup B)') = 15$ değerlerini yerine yazarsak: $s(A \cup B) = 40 - 15$. Bu işlemi yaptığımızda, $s(A \cup B) = 25$ sonucuna ulaşırız.
