5. Sınıf Kare Nedir? Test 2

Kenar uzunluğu \(a\) olan bir karenin köşegen uzunluğu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \(a\)
B) \(a\sqrt{2}\)
C) \(2a\)
D) \(a\sqrt{3}\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kenar uzunluğu $a$ olan bir karenin köşegen uzunluğunu bulmamız isteniyor. Kare ve üçgenler arasındaki ilişkiyi kullanarak bu problemi kolayca çözebiliriz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Karenin Özelliklerini Hatırlayalım:

  Bir kare, dört kenarı birbirine eşit ve dört açısı da $90^\circ$ (dik açı) olan özel bir dörtgendir. Karenin bir köşegeni, kareyi iki eş dik üçgene ayırır.

• 2. Dik Üçgeni Belirleyelim:

  Karenin bir köşegenini çizdiğimizde, bu köşegen ve karenin iki kenarı bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenarları (yani $90^\circ$ açıyı oluşturan kenarlar) karenin kenarlarıdır ve her birinin uzunluğu $a$'dır. Köşegen ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür (en uzun kenarıdır ve dik açının karşısındadır).

• 3. Pisagor Teoremini Uygulayalım:

  Bir dik üçgende, dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Bu kurala Pisagor Teoremi denir. Eğer dik kenarlar $x$ ve $y$, hipotenüs $z$ ise, formül $x^2 + y^2 = z^2$ şeklindedir.

  Bizim durumumuzda:

  • Birinci dik kenar: $a$
  • İkinci dik kenar: $a$
  • Hipotenüs (köşegen uzunluğu): $d$ (diyelim)

  Şimdi Pisagor Teoremini uygulayalım:

  $a^2 + a^2 = d^2$

• 4. Denklemi Çözelim:

  Denklemi $d$ için çözerek köşegen uzunluğunu bulalım:

  $a^2 + a^2 = d^2$

  $2a^2 = d^2$

  Her iki tarafın karekökünü alalım:

  $\sqrt{2a^2} = \sqrt{d^2}$

  Karekök dışına çıkarırken, $a^2$ ifadesi $a$ olarak çıkar:

  $a\sqrt{2} = d$

  Yani, kenar uzunluğu $a$ olan bir karenin köşegen uzunluğu $a\sqrt{2}$'dir.

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuç olan $a\sqrt{2}$'yi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, B seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.