Köklü sayılarla işlem yaparken adım adım ilerlemek, doğru sonuca ulaşmanın en iyi yoludur. Şimdi verilen işlemi birlikte inceleyelim ve çözüm adımlarını uygulayalım.
İşlemimiz: $ (\sqrt{6} + \sqrt{24}) \cdot \sqrt{2} $
- Adım 1: Parantez içindeki köklü ifadeleri basitleştirelim.
- Öncelikle, parantez içindeki $\sqrt{24}$ ifadesini daha basit bir forma getirmemiz gerekiyor. Bunun için 24 sayısını çarpanlarına ayırırız ve tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarırız.
- $24 = 4 \cdot 6$ olduğunu biliyoruz. Burada 4 bir tam karedir ($2^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$ olur.
- Şimdi işlemimiz $ (\sqrt{6} + 2\sqrt{6}) \cdot \sqrt{2} $ şeklini aldı.
- Adım 2: Parantez içindeki benzer terimleri toplayalım.
- Parantez içinde $\sqrt{6}$ ve $2\sqrt{6}$ ifadeleri bulunmaktadır. Bunlar benzer köklü ifadelerdir, çünkü kök içleri aynıdır ($\sqrt{6}$). Tıpkı $x + 2x = 3x$ gibi, bu ifadeleri de toplayabiliriz.
- $ \sqrt{6} + 2\sqrt{6} = (1+2)\sqrt{6} = 3\sqrt{6} $ olur.
- İşlemimiz şimdi $ 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} $ halini aldı.
- Adım 3: Köklü ifadeleri çarpalım.
- Şimdi kök dışındaki sayıları kendi aralarında, kök içindeki sayıları kendi aralarında çarpma zamanı. Burada kök dışında sadece 3 sayısı var.
- $ 3\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}) $
- Köklü sayıların çarpma kuralına göre $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ olduğundan, $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6 \cdot 2} = \sqrt{12}$ olur.
- İşlemimiz $ 3\sqrt{12} $ şeklini aldı.
- Adım 4: Son köklü ifadeyi basitleştirelim.
- Son olarak, $\sqrt{12}$ ifadesini basitleştirmemiz gerekiyor. Yine 12 sayısını çarpanlarına ayırıp tam kare olanları kök dışına çıkaralım.
- $12 = 4 \cdot 3$ olduğunu biliyoruz. Burada 4 bir tam karedir ($2^2$).
- Bu durumda, $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ olur.
- Şimdi bu basitleştirilmiş ifadeyi 3 ile çarpalım: $ 3 \cdot (2\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} $.
Bu işlemin sonucu $6\sqrt{3}$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
