P(x) = (k²-9)x³ + (k-3)x² + 4 polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) -3Bir polinomun sıfır polinomu olabilmesi için, o polinomdaki tüm terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir. Yani, $P(x) = ax^n + bx^{n-1} + \dots + cx + d$ şeklinde bir polinomun sıfır polinomu olması için $a=0$, $b=0$, $\dots$, $c=0$ ve $d=0$ olmalıdır. Kısacası, $P(x)$ her $x$ değeri için $0$ olmalıdır.
Bize verilen polinom $P(x) = (k^2-9)x^3 + (k-3)x^2 + 4$.
Bu polinomun sıfır polinomu olabilmesi için, $x^3$'ün katsayısı, $x^2$'nin katsayısı ve sabit terim (yani $x^0$'ın katsayısı) ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak $(k-3)(k+3) = 0$ olur.
Buradan $k-3=0$ veya $k+3=0$ çıkar.
Yani $k=3$ veya $k=-3$ olabilir.
Buradan doğrudan $k=3$ sonucunu elde ederiz.
İşte burada bir sorunla karşılaşıyoruz! $4$ sayısı hiçbir zaman $0$'a eşit olamaz. Bu bir çelişkidir.
Bir polinomun sıfır polinomu olabilmesi için tüm katsayıların aynı anda sıfır olması gerekir. Bizim durumumuzda, $k=3$ değeri ilk iki denklemi sıfır yapsa da (yani $x^3$ ve $x^2$ terimlerinin katsayılarını sıfır yapsa da), sabit terim olan $4$'ü sıfır yapamaz.
Eğer $k=3$ değerini polinomda yerine yazarsak:
$P(x) = (3^2-9)x^3 + (3-3)x^2 + 4$
$P(x) = (9-9)x^3 + (0)x^2 + 4$
$P(x) = 0x^3 + 0x^2 + 4$
$P(x) = 4$
Gördüğümüz gibi, $P(x)=4$ polinomu sıfır polinomu değildir. Çünkü sıfır polinomu $P(x)=0$ olmalıdır.
Bu durumda, verilen $P(x)$ polinomunu sıfır polinomu yapacak hiçbir $k$ değeri yoktur. Yani, $k$'nin alabileceği değerler kümesi boş kümedir ($\emptyset$).
Matematikte, boş kümenin elemanları toplamı $0$ olarak kabul edilir.
Bu nedenle, $k$'nin alabileceği değerler toplamı $0$'dır.
Cevap B seçeneğidir.
