2. f(x) = x² - 4x + 3 fonksiyonu veriliyor. f(x) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 3Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir ikinci dereceden fonksiyonun belirli bir eşitsizliği sağlayan tam sayı değerlerinin toplamını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi görelim.
Bize $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu verilmiş ve $f(x) \le 0$ eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayı değerlerinin toplamı soruluyor. Yani, fonksiyonun değerinin sıfıra eşit veya sıfırdan küçük olduğu $x$ değerlerini bulmamız gerekiyor.
Eşitsizliği çözmek için öncelikle $f(x) = 0$ denkleminin köklerini bulmalıyız. Bu kökler, fonksiyonun işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
$x^2 - 4x + 3 = 0$ denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-1$ ve $-3$'tür.
Bu durumda denklem $(x - 1)(x - 3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Denklemin kökleri $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$ ve $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$'tür.
$f(x) = x^2 - 4x + 3$ bir parabol denklemidir. Baş katsayısı ($x^2$'nin katsayısı) $1$ olduğu için ($1 > 0$), parabolün kolları yukarıya doğrudur. Parabolün kolları yukarıya doğru olduğunda, kökler arasında fonksiyon negatif değerler alır, köklerin dışında ise pozitif değerler alır.
İşaret tablosu şu şekilde oluşturulabilir:
Köklerimiz $1$ ve $3$. $x^2$'nin katsayısı pozitif olduğu için, en sağdan başlayarak işaretleri $+$, $-$, $+$ şeklinde yerleştiririz.
$x$ $-\infty$ $1$ $3$ $+\infty$
$f(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
Bizden $f(x) \le 0$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerleri isteniyor. Bu, $f(x)$'in negatif olduğu veya sıfır olduğu aralık demektir.
Yukarıdaki işaret analizine göre, $f(x) \le 0$ eşitsizliği $1 \le x \le 3$ aralığında sağlanır. Kökler de dahil olduğu için köşeli parantez kullanırız.
$1 \le x \le 3$ aralığındaki tam sayılar şunlardır: $1, 2, 3$.
Bulduğumuz tam sayı değerlerinin toplamı:
$1 + 2 + 3 = 6$
Cevap A seçeneğidir.
